4. Ряды.

4.1. Числовые ряды.

Пусть u₁, u₂, …, u_n, ...– бесконечная числовая последовательность, заданная формулой общего членаu_n = f(x), гдеn– номер члена. Выражениеu₁ + u₂ + …+ u_n + ...(10.1) называетсячисловым рядом,а числаu₁, u₂, …, u_n, ... – членами ряда. Ряд удобно записывать в виде , где– символ суммирования, сверху и снизу – пределы суммирования (номера первого и последнего членов),n– текущий индекс (номер члена).

Сумму первых nчленов обозначают черезS_nи называютn–ойчастичной суммой ряда:S_n = u₁ + u₂ + …+ u_n .

Ряд называют сходящимся, если егоn–ная частичная суммаS_nпри неограниченном возрастанииnстремится к конечному пределу, т.е. если . ЧислоSназываютсуммой ряда.Еслиn–ная частичная сумма ряда приn   не стремится кконечномупределу, то ряд называютрасходящимся.

Ряд a₁ + a₁q + a₁q² + … + a₁q^n–1+ …; где|q| < 1(10.2), составленный из членов убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму (10.3).

Приведём основные теоремы о сходящихся рядах.

1. Если сходится ряд (10.1), то сходится и ряд u_{m + 1} + u_{m + 2} + … (10.4)

получаемый из данного ряда отбрасыванием первых m членов, т.е. на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа членов (ряд (10.4) называют m – ым остатком исходного ряда (10.1)).

2. Если сходится остаток исходного ряда, то сходится и сам ряд.

3. Если сходится ряд u₁ + u₂ + … и суммой его является число S, то сходится и ряд аu₁ + аu₂ + …, причем сумма последнего ряда равна aS.

4. Если сходятся ряды u₁ + u₂ + …, v₁ + v₂ + ..., имеющие суммы S и , то сходится и ряд (u₁ + v₁) + (u₂ + v₂) + … причем сумма последнего ряда равна

S +  (последний ряд получен почленным сложением исходных рядов).

5. Если ряд u₁ + u₂ + … сходится, то , т.е. при n   предел общего члена сходящегося ряда равен нулю.Этонеобходимый признак сходимости; если он выполняется – ряд может сходиться (а может и расходиться), а если – ряд расходится. Ряд (10.5), называемый гармоническим,расходится(при том, что ).

Рассмотрим важнейшие достаточныепризнаки сходимости рядов сположительнымичленами.

1. Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда (1) и (2),

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. u_n  v_n ( n= 1, 2, 3, ..). Тогда, если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).Отметим, что в соответствии со свойством (2) рядов, этот признак остается в силе, если неравенстваu_n  v_nвыполняются не при всехn, а лишь начиная с некоторого номераn = N.

2. Второй (предельный) признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

3. Признак Даламбера. Если для ряда существует , то этот ряд сходится при С < 1 и расходится при C > 1.ПриС = 1вопрос о сходимости остается открытым (необходимо применить другой признак).

4. Признак Коши (радикальный). Если для ряда существует , то этот ряд сходится приD < 1 и расходится приD > 1. СлучайD = 1требует дополнительного исследования.

5. Интегральный признак. Если f(x) при x  1 – непрерывная положительная и монотонно убывающая функция, то ряд , где u_n = f(n), сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл .

Сходимость знакочередующихся рядов (рядов вида , гдеu_n > 0)

исследуется с помощью признака Лейбница: знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия:

1. u₁ > u₂ > u₃ >… и 2. .

Если знакочередующийся ряд сходится, то n–ный остаток егоудовлетворяет неравенству|R_n| < u_n+1, важному в приближенных вычислениях.

Знакочередующийся ряд – это частный случай знакопеременногоряда (с произвольным чередованием знаков членов).Знакопеременный ряд

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.Если знакопеременный рядcходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный рядназывается условно сходящимся рядом.

Отметим, что если ряд абсолютно сходится, то ряд, полученный при произвольной перестановкебесконечногомножества его членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд. Если ряд

сходится условно, то при перестановке бесконечногомножества его членов сумма ряда может измениться. (В частности, условно сходящийся ряд можно превратить в расходящийся ряд).