3. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Поставим задачу: найти функцию y = f(x), удовлетворяющую уравнениюdy/dx = x + 2. Поскольку в уравнение входит производная (дифференциал) искомой функцииу– уравнение называютдифференциальным. Умножив обе части равенства на дифференциал аргумента, получимdy = (x + 2)dxи, взяв интегралы от обеих частей равенства, найдем:

(Алгебраическая сумма произвольных постоянных есть произвольная постоянная, её достаточно написать в правой части равенства).

Таким образом уравнение решено – найдена функция, удовлетворяющая уравнению, т.е. обращающая его в тождество: .

В общем случае дифференциальным уравнениемназывают уравнение F(x, y, y`, y``, …, y<sup>(n)</sup>) = 0, связывающее независимую переменнуюх, искомую функциюу = f(x)и ее производныеy`, y``, …,y⁽ⁿ⁾.

Если искомая функция y = f(x)есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называетсяобыкновенным. (Если независимых переменных две или более, то уравнение называетсядифференциальным уравнением в частных производных).

Порядокдифференциального уравнения – порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.y`` – ky` + by = (x)– уравнение второго порядка.

Решение (интеграл) дифференциального уравнения– всякая функцияy = f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.

Дифференциальные уравнения первого порядка, в общем случае имеют вид:F(x, y, y`) = 0(9.1). Если это уравнение разрешимо относительноy`, то его можно записать в виде:y` = f(x, y)(9.1`).

Для такого уравнения справедлива теорема существования и единственности решения: Если в уравнении y` = f(x, y) функция f(x, y) и ее частная производная f<sub>у</sub>` непрерывны в некоторой области D на плоскости хОу, содержащей некоторую точку (х₀, у₀), то существует единственное решение этого уравнения у = (х), удовлетворяющее условию (х_о)=у_о.Геометрическая интерпретация – график функцииу = (х)проходит через точку(х₀, у₀).

Из теоремы следует, что уравнение (9.1`) имеет бесконечное множество

решений (и, соответственно, графиков, каждый из которых проходит через одну из точек области D). Условие(х_о)=у_оназываетсяначальным условиеми может быть записано в видеу/_{х =х} = у₀ или у(х₀) = у₀.

Общим решениемдифференциального уравнения первого порядка называется функцияу = (х, C) такая, что: 1. удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом значении произвольной постояннойС; 2. для любого начального условияу(х₀) = у₀существует единственное значениеС = С₀, при котором решениеу = (х, С₀)удовлетворяет заданному начальному условию. (Предполагается, что значениях₀иу₀принадлежат областиD, в которой выполняются условия теоремы существования и единственности решения). Нередко решение дифференциального уравнения получается в виде неявной функцииF(x, у, С) = 0, которую называютобщим интеграломдифференциального уравнения.

Частным решениему = (х, С₀)называют всякое решение, получаемое из общего решенияу = (х, С)при конкретном значении С = С₀. (ФункциюF(x, у, С₀) = 0называютчастным интеграломуравнения).

Геометрически общий интеграл представляет собой семейство кривых, зависящее от одного параметра С. Их называютинтегральными кривымидифференциального уравнения. (Встречаются дифференциальные уравнения, имеющиеособыерешения, которые не получаются из общего решения ни при каких значенияхС. График особого решения - интегральная кривая, которая в каждой своей точке имеет общую касательную с одной из интегральных кривых, определяемых общим решением. Её называютогибающейсемейства интегральных кривых).

Процедура нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированиемего.

Рассмотрим основные классы уравнений, решения которых могут быть найдены в виде элементарных функций.

Уравнения с разделяющимися переменными– это уравнения видаf₁(x)₁(y)dx + f₂(x)₂(y)dy = 0. (9.2).

Если ни одна из функций f₁(x), ₁(y), f₂(x), ₂(y)не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения наf₂(x)₁(y)оно приводится к виду: (9.3)

• уравнения с разделенными перемеными. Почленное интегрирование

последнего уравнения приводит к соотношению: ,

которое и определяет общий интеграл исходного уравнения.

Пример: решить уравнение . Перепишем уравнение в виде , откуда, разделяя переменные, получим . Проинтегрируем обе части уравнения: . Решение найдено в виде неявной функции (получен общий интеграл исходного дифференциального уравнения).

Однородные уравнения первого порядка.

Функцию f(x, y)называютоднородной m – го измерения, если при любомсправедливо равенствоf(x, y) = ^m f(x, y). Пример:

, т.е., исходная функция – однородная второго измерения.

Уравнение вида y` = f(x, y) (или приводимое к нему) называют однородным, еслиf(x, y)– однородная функция нулевого измерения, т.е.

f(x, y)=f(x, y).

С помощью подстановкиу = tходнородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функцииt = y/x.

Пример: (1). Положимy=tx, откудаy` =t+xt`. Подставим в (1) :

. Разделяя переменные

и интегрируя получим: (Логарифм произвольной постоянной есть произвольная постоянная, что и используем для упрощения записи). Возвращаясь к исходной функции получим:

,

откуда y=xlnC|y|.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка– это уравнения видаy` + P(x)y = Q(x)(9.4) (yиy`входят в первых степенях не перемножаясь между собой). ЕслиQ(x)  0, уравнение называетсялинейным неоднородным, а еслиQ(x) = 0–линейным однородным. (Если в уравнении (9.4) положимQ(x) = 0, то получимсоответствующееему однородное уравнение). Общее решение линейного однородного уравнения y` + Р(х)у = 0легко получается разделением переменных:

, гдеС– произвольная постоянная.

Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти:

а) Методом Лагранжа(методом вариации произвольной постоянной) – исходя из решения соответствующего однородного уравнения иварьируя произвольную постоянную, т.е полагая, гдеС(х)подлежащая определению дифференцируемая функция отх. Для нахожденияС(х)нужно подставитьув исходное уравнение, что приводит к соотношению откуда , где – произвольная постоянная. Искомое общее решение неоднородного уравнения примет вид

(9.5).

б) Методом Бернулли - подстановкойу = uv, гдеu иv– неизвестные функции отх, исходное уравнение преобразуется к видуu`v + uv` + P(x)uv = Q(x) (1) или u[v` + P(x)v] + vu` = Q(x)(2). Одна из неизвестных функций (v, например) может быть выбранапроизвольно.Определим ее из условия

v` + P(x)v = 0(3), откуда (4). Подставляя (4) с учетом (3) в (2) получим , откуда и

Произведение произвольныxпостоянных есть произвольная постоянная; без потери общности, можно положитьС₁ = 1; т.е. и.

Примеры: 1. Решим уравнение y`cos<sup>2</sup>x+y=tgxметодом Лагранжа. Соответствующее однородное уравнение:y`cos²x+y= 0. Разделяя переменные, получим, откуда, интегрируя, найдем. Решение исходного уравнения ищем в виде у = С(х)е^–tgx. Подставляя в исходное уравнение у` =C`(x)e^–tgx–C(x)e^–tgx(1/cos²x) получим: и

2. Решим уравнение y` – 2y(x+ 1) = (x+ 1)³методом Бернулли. Полагаем

y=uv,y` =u`v+uv` и, подставляя, найдемu`v+uv` – 2uv(x+ 1) = (x+ 1)³

откуда u`v–u(v` – 2v(x+ 1)) = (x+ 1)³(1). Положимv` – 2v(x+ 1) = 0, откуда . Подставим в (1):u`(x+1)²= (x+ 1)³=>

du= (x+ 1)dxиu= (x+ 1)²/ 2 +C, откудаy=uv= (x+ 1)⁴/2 +C(x+ 1)².

Дифференциальные уравнения более высоких порядков.

Символически дифференциальное уравнение nпорядка можно записать в видеF(x, y, y`, …, y<sup>(n)</sup>) = 0, или, если оно разрешимо относительно высшей производной,y<sup>(n)</sup> = f(x, y, y`, …, y^(n–1)). Для таких уравнений справедлива теорема существования и единственности решения:Если в уравнении y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y`, …, y<sup>(n–1)</sup>) функция f(x, y, y`, …, y^(n–1)) и ее частные производные по аргументам x, y, y`, …, y<sup>(n–1)</sup> непрерывны в некоторой области, содержащей значения х = х<sub>0</sub>, у = у<sub>0</sub>, y` = y₀`, … , y<sup>(n–1)</sup> = y<sub>0</sub><sup>(n–1)</sup>, то существует и притом единственное решение у = у(х) уравнения, удовлетворяющее условиям у(х<sub>0</sub>) = у<sub>0</sub>, y`(х₀) = y₀`, … , y^(n–1) = y₀^(n–1) (начальные условия).

Общим решением дифференциального уравнения nпорядка называется функцияу = (х, С₁, С₂, … , С_n)зависящая отn произвольных постоянныхС₁, С₂, … , С_nи такая, что:

1) удовлетворяет уравнению при любых значениях произвольных постоянных; 2) при заданных начальных условиях постоянные С₁, С₂, … , С_nможно подобрать так, что функцияу = (х, С₁, С₂, … , С_n)будет удовлетворять этим условиям (предполагается, что начальные значениях₀, у₀, y₀`, …, y^(n–1)принадлежат области, для которой справедлива приведеннaя выше теорема).

Соотношение вида (х, у, С₁, С₂, … , С_n) = 0, неявно определяющее общее решение, называетсяобщим интеграломдифференциального уравнения.

Задача Кошидля этого уравнения состоит в том, чтобы найти такое решение уравнения, которое удовлетворяетначальным условиям.Всякое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных (в частности, всякое решение задачи Коши), называетсячастным решениемэтого уравнения.

Значения произвольных постоянных могут быть найдены и из граничных условий вида у(х₀) = у₀, у(х₁) = у₁, …, у(x_n) = y_n, определяющих, через какие точки областиDдолжна пройти искомая интегральная кривая. В общем случае могут быть заданы и начальные и граничные условия. (Число их не должно превышать числа произвольных постоянных).

Интегрирование дифференциальных уравнений nпорядка в конечном виде удается произвести только в некоторых частных случаях.

Уравнения, допускающие понижение порядка.

Уравнения вида F(x, y^(k), y^{(k + 1)}, …, y⁽ⁿ⁾) = 0, не содержащие искомой функции. Порядок такого уравнения можно понизить наkединиц, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производныхz = y^(k). Исходное уравнение примет видF(x, z, z`, …, z^{(n – k)}) = 0.

Пример: xy`` =y`ln(y`/x). Полагаяy` =z(y`` =z`) приведем уравнение к видуxz` =zln(z/x). Это однородное уравнение первого порядка. Полагаяz/x=t(z=xt),z` =t+xt`, получимt`x+t=tlntи, разделяя переменные,. Интегрируя, находимln|lnt– 1| =ln|x| +lnC₁,lnt– 1 =C₁xи . Возвращаясь к исходной переменной приходим к уравнению первого порядка , решая которое найдем .

Дифференциальные уравнения вида F(y, y`, y``, …, y<sup>(n)</sup>) = 0,не содержащие независимой переменной.Порядок уравнения понижаем положивy` = z, а за новый аргумент приняву. В этом случаеy``, y```, … можно, по правилу дифференцирования сложной функции, выразить черезzи производные отzпоу(, и т.д.). Порядок уравнения понижается на единицу.

Пример: 1 + (y`)²=yy``. Полагая получим; разделяя переменные и интегрируя:. Возвращаясь к старой переменной, откуда, и интегрируя, получим.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейным дифференциальным уравнением nпорядка называется уравнение видаy⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^(n–1) + … + a_n–1(x)y` + a_n(x)y = f(x)где функцииa₁(x), a₂(x), …иf(x)заданы и непрерывны в некотором интервале(a, b).

Уравнение называется линейным неоднороднымприf(x)  0илинейным однороднымприf(x) = 0. Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неоднородное, называетсясоответствующимему. Рассмотрим некоторые свойства линейных уравнений на примере уравнений второго порядкаy`` + a₁(x)y` + a₂(x)y = f(x)(9.6).

Однородные уравнения

Важное свойство уравнений вида y`` + a₁(x)y` + a<sub>2</sub>(x)y = 0(9.6`),

определяется теоремой о структуре общего решения: если у₁ и у₂ два линейно независимых решения уравнения (9.6`), тоу = С₁у₁ + С₂у₂(9.7),

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные, есть его общее решение.Две функцииу₁иу₂называются линейно независимыми на отрезке[a, b], если₁у₁ + ₂у₂  0ни при каких₁и₂, не равных нулю одновременно, ни в одной точке отрезка

[a, b]. Определитель вида называетсяопределителем Вронского (вронскианом)функцийу₁иу₂. Еслиу₁иу₂– частные решения уравнения (9.6`), то условиеu(y₁, y₂)  0является необходимым и достаточным условием линейной независимости этих решений. (Это условие можно записать и так: на отрезке[a, b]).

Неоднородные уравнения. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения (9.6) определяется следующим образом: Общее решение неоднородного уравнения (9.6) равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (9.6`).Оставляя пока открытым вопрос о способах отыскания общего решения однородного уравнения, рассмотрим один из методов отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения –метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).Заключается он в следующем. Пусть известно общее решение уравнения (9.6`), соответствующего уравнению (9.6):

у = С₁у₁ + С₂у₂(9.7).

Будем искать частное решение уравнения (9.6) в виде у* = С₁(х)у₁ + С₂(х)у₂, гдеС₁(х)иС₂(х)функции подлежащие определению. Продифференцируем последнее равенство:у*` = С`₁у₁ + С₁у₁` + С`₂у₂ + С₂у`<sub>2</sub>и наложим на искомые функцииС<sub>1</sub>иС<sub>2</sub> дополнительное условие:С`₁у₁ + С`₂у₂ = 0 (1).

Первая производная у*`примет вид у*` = С₁у₁` + С<sub>2</sub>у<sub>2</sub>`.Дифференцируя это выражение, получим:у*``= С`<sub>1</sub>у<sub>1</sub>` + С<sub>1</sub>у<sub>1</sub>`` + С`<sub>2</sub>у<sub>2</sub>` + С₂у₂``. Подставиму*, у*`, у*``в (9.6) (напомним, что любое решение дифференциального уравнения, будучи подставлено в уравнение, обращает его в тождество).

C₁y₁`` + С<sub>2</sub>y<sub>2</sub>``+ С₁y₁` + C<sub>2</sub>y<sub>2</sub>` + a₁(С₁y₁` + C<sub>2</sub>y<sub>2</sub>`) + a₂(C₁y₁ + C₂y₂) = f(x) или

C₁(y₁`` + а<sub>1</sub>y<sub>1</sub>` + a<sub>2</sub>y<sub>1</sub>) + С<sub>2</sub>(y<sub>2</sub>`` + a₁y₂` + a<sub>2</sub>y<sub>2</sub>) + C<sub>1</sub>`y₁` + C<sub>2</sub>`y₂` = f(x).

Выражения, стоящие в скобках, обращаются в нуль, так каку₁ иу₂– решения однородного уравнения и последнее равенство примет вид

C₁`y<sub>1</sub>` + C₂`y<sub>2</sub>` = f(x) (2). Функция (9.7) будет решением неоднородного уравнения (9.6) в случае, если функцииС₁иС₂удовлетворяют системе уравнений (1) и (2). Определитель системы – это определитель Вронского для линейно независимых функцийу₁иу₂и, следовательно, не равен нулю. Решая систему, найдемС₁иС₂ как определенные функции отх:С₁ = ₁(х)и

С₂ = ₂(х). Интегрируя, получим и ,

где С₁иС₂– произвольные постоянные. Подставляя полученные выражения в (9.7) получим общий интеграл уравнения (9.6)у =у + у*.

Пример: . Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Обозначивy` =z(y``=z`) получимоткудаz=y` =xCиу = С₁х²+ С₂. Искомые функции С₁(х) и С₂(х) в общем решении и сходного уравнения определим из решения системы:

С₁`x<sup>2</sup>+C<sub>2</sub>` = 0 и 2С₁`x=x, откуда,и,.

Общее решение: .

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами– это уравнения вида (9.6), в которых коэффициентыа₁и а₂представляют собой постоянные величины.

Рассмотрим решение однородных уравнений (9.6`). Будем искать линейно независимые частные решения у<sub>1</sub>иу<sub>2</sub>в (9.7) в видеу = е<sup>kх</sup>, гдеk – const (Метод был предложен Л. Эйлером). Тогдау` = kе^kхиу`` = k²е^kх. Подставляя решение в (9.6`) получиме^kх(k² + а₁k + а₂) = 0 и т.к. е^kх  0,

k² + а₁k + а₂ = 0(9.8). Уравнение (9.8) называетсяхарактеристическим уравнениемпо отношению к уравнению (9.6`). Корни уравнения (9.8) определяются по известной формуле для корней квадратного уравнения и при этом возможны следующие случаи:

1. Корни действительны и различны (k₁  k₂), частные решения и линейно независимы и общее решение принимает вид.

Пример: y`` +y` – 2y= 0. Характеристическое уравнение k²+ k – 2 = 0; k₁= 1 и k₂= –2 и общее решение .

2. Корни характеристического уравнения равны, k₁ = k₂ =k. В этом случае частные решенияу₁иу₂целесообразно искать в видеи ; они линейно независимы: () и общее решение примет вид .

3. Корни характеристического уравнения комплексные. Известно, что, в общем случае, дискриминант квадратного уравнения может быть отрицательным и тогда уравнение не имеет действительных корней.

Пример: у² – 2у + 5 = 0;; обозначив, получим у_1,2 = 1  2i.

Выражение вида z=+i, гдеи– действительные числа, аi–мнимаяединица, определяемая равенствомi² = –1, называетсякомплексным числомназываетсядействительной, а–мнимойчастью комплексного числа. (Иногда используют обозначения: = Rez и  = Imz; иногда мнимой частью называют произведениеi– это более естественно, но менее удобно).

Два комплексных числа, отличающихся только знаком мнимой части, называются сопряженными. (Иногда для обозначения комплексно сопряженного числа используют символz*, т.е. еслиz =  + i, то z* =  – i).

Два комплексных числа z₁иz₂равны тогда и только тогда, когда равны их действительные(₁= ₂) и мнимые(₁ = ₂)части.

Комплексные числа изображаются точками на плоскости, называемойкомплексной плоскостью. Поясним рисунком 9.1. На этой плоскости вводится система ортогональных координат: действительная (вещественная) осьОи мнимая осьО. Произвольной точкеМ(;) плоскости соответствует комплексное

число z =  + i. Если= 0, то число0 + i = i

называется чисто мнимым(или простомнимым) (ему соответствует точка на мнимой осиО), если = 0, то число + i0=оказывается действительным (вещественным) числом (ему соответствует точка на действительной осиО). Таким образом и действительные и мнимые числа суть частные случаи комплексного числа.

На комплексной плоскости можно ввести и полярную систему координат (см.рис 9.1). Полярные координаты точки М: и называютсямодулемиаргументомкомплексного числаz.С учетом связи декартовых и полярных координат ( =  cos ,  =  sin ) получимтригонометрическую формукомплексного числа:z =  (cos  + i sin ).

Примеры: 1) z=i; |z| = 1;argz=/2 2)z= 1; |z| = 1;argz= 0

3) z = 1 + i; |z| = ; arg z =/4 4) z = 1 – i; |z| = ; arg z = 5/4

При сложении комплексных чисел складываются их действительные и мнимые части, т.е. z₁ + z₂ = (₁ + i₁) + (₂ + i₂) = (₁ + ₂) + i(₁ + ₂).

Произведение комплексных чисел можно найти в алгебраическойz₁ z₂ = (₁ + i₁) (₂ + i₂) = (₁₂ – ₁₂) + i(₁₂ + ₂₁)и тригонометрической

формах z₁ z₂ = ₁(cos₁ + isin₁) ₂(cos₂ + isin₂) = ₁₂[cos (₁ + ₂) + isin (₁ + ₂ )]

т.е. |z₁ z₂| = |z₁| |z₂|, arg (z₁ z₂) = arg z₁ + arg z₂.

Соответственно, при делении и .

Удобнее выполнять операции над комплексными числами в тригонометрической форме. Во многих случаях удобно использовать формулу zⁿ = ⁿ(cos + isin)ⁿ= ⁿ(cosn + isinn); частный случай ее при = 1:

(cos + isin)ⁿ = cosn + isinnназываютформулой Муавра.

Важной в практическом отношении и показывающей одновременно связь тригонометрических и показательной функции является формула Эйлера

e^i = cos  isin. С её помощью вводитсяпоказательная формакомплексного числа:z =  + i = (cos + isin) = e^i

Вернемся к характеристическому уравнению однородного линейного уравнения второго порядка (9.6`). Если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, оно имеет два комплексно сопряженных корня  + i и  – i. В этом случае частные решения однородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами примут виду<sub>1</sub> = е<sup>( + i)х</sup>иу<sub>2</sub> = е<sup>( + i)х</sup>, илиу<sub>1,2</sub> = е<sup>х</sup> cosх  iе<sup>х</sup> sinх,гдеу<sub>1</sub>иу<sub>2</sub>комплексные функции действительного аргумента, удовлетворяющие уравнению (9.6`). Если комплексная функция действительного аргументау = u(x) + iv(x)удовлетворяет уравнению (9.6`), то ему удовлетворяют и функцииu(x)иv(x). Соответственно, частными решениями в нашем случае будут действительные функцииу₁ = е^х cosхиу₂ = е^х sinх. (у₁ и у₂линейно независимы: ) и общее решение примет виду = е^х (С₁cosх + С₂sinх).

Метод неопределенных коэффициентов (подбора решений).

Неоднородное уравнение (9.6) с постоянными коэффициентами может быть решено рассмотренным выше методом Лагранжа. Если правая часть уравнения имеет специальный видf(x) = е^х[P_n(x)cosх + Q_m(x)sinх](9.9)

для отыскания частного решенияможно использоватьметод неопределенных коэффициентов. В (9.9)и– постоянные,P_n(x)иQ_m(x)многочлены отхстепенейnи mсоответственно.

Пример: f(x) = e^2x[(3x³ + 3x² – 5x + 4)cos3x + (x² – 2x + 3)sin3x]. (Более простые частные случаи функции этого вида рассмотрены ниже). Частное решение уравнения (9.6) в этом случае следует искать в видеу* = x^re^x[P_l (x)cosх + Q_l (x)sinх] (9.10), где:r– показатель кратности корня + iв характеристическом уравнении (если оно такого корня не имеет, следует положитьr = 0); P_l (x) и Q_l (x)– полные многочлены отхстепениlс неопределенными коэффициентами, причемlравно наибольшему из чиселnиm(l = n  mилиl = m  n): P_l(x) = A₀x^l + A₁x^l–1 +…+A_l; Q_l (x) = B₀x^l + B₁x^l–1 +…+ B_l.

Подчеркнем, что многочлены P_l (x)иQ_l (x)должны бытьполными(содержатьвсестепенихот нуля доl) с различными неопределенными коэффициентами при одних и тех же степеняххв обоих многочленах и, если в выражение функцииf(x)входитхотя бы однаиз функцийcosxилиsinx, то ву*надовводить обе функции. Неопределенные коэффициенты можно найти из системы линейных уравнений, получаемых отождествлением коэффициентов подобных членов в правой и левой частях исходного уравнения после подстановки в негоу*.

Рассмотрим частные случаи функции f(x)вида (9.9).

1. f(x) = Ae^x(A– постоянная, = 0)

2. f(x) = Acosx + Bsinx(АиВ– постоянные, = 0)

3. f(x) = P_n(x) ( = 0,  = 0)

4. f(x) = e^xP_n(x) ( = 0)

5. f(x) = P_n(x)cosx + Q_m(x)sinx ( = 0)

6. f(x) = e^x(Acosx + Bsinx)(АиВ– постоянные)

Примеры: 1. y`` – 2y` – 3y =e<sup>4x</sup>. Характеристическое уравнениеk<sup>2</sup>–2k–3 =0 имеет корниk<sub>1</sub>= 3 иk<sub>2</sub>= –1 и общее решение соответствующего однородного уравненияу = С<sub>1</sub>е<sup>3х</sup>+ С<sub>2</sub>е<sup>–х</sup>. Частное решение исходного уравнения следует искать в виде у* = Ае<sup>4х</sup>(так как в правой его части косинус и синус отсутствуют, коэффициентом при показательной функции служит многочлен нулевой степени, т.е.l=m=n= 0 иr= 0 (поскольку 4 не является корнем характеристического уравнения)). Подставляя у* = Ае<sup>4х</sup>, у*` =4Ае<sup>4х</sup>, у*`` = 16 Ае^4хв исходное уравнение получим 16Ае^4х– 8Ае^4х– 3Ае^4х= е^4х, откуда А = 1/5 и у* = 1/5(е^4х). Общее решение: у =у +у* = С₁е^3х+ С₂е^–х+ 1/5е^4х.

2. y`` – 2y` + 2 = x<sup>2</sup>. Характеристическое уравнениеk<sup>2</sup>– 2k+ 2 = 0 имеет корниk<sub>1,2</sub>= 1iи общее решение соответствующего исходному однородного уравнения примет виду = е<sup>х</sup>(С<sub>1</sub>cosx + С<sub>2</sub>sinx). Частное решение следует искать в виде у* = Ах<sup>2</sup> + Вх+С (в данном случае=0,=0, i=0; т.к. корняk = 0 у характеристического уравнения нет, тоr= 0,l=n= 2). Подставляя у*, у*` = 2А<sub>х</sub>+ В и у*`` = 2A в исходное уравнение, получим

2Ах²+ (2В – 4А)х + (2С – 2В + 2А) = х² откуда 2А=1,2В–4А=0,2С–2В+2А=0

и А = 0,5, В = 1, С = 0,5. Таким образом у* = 0,5(х + 1)² и у =у + у* = е^х(С₁cosx + С₂sinx) + 0,5(х + 1)².

Системы дифференциальных уравнений.

Система дифференциальных уравнений вида

, где х₁, х₂, …, х_n- неизвестные функции переменнойt,

называется нормальной системой.

В

Разделив (1) на (2) получим первую интегрируемую комбинацию откуда и

некоторых случаях удаётся, комбинируя уравнения системы, получить после некоторых преобразований легко интегрируемые уравнения, что и позволяет отыскать решение системы. Метод этот называютметодом интегрируемых комбинаций.

Пример: .

Умножим (1) на 2, (2) на 3 и сложив получим вторую интегрируемую комбинацию:откуда.

Из системы уравнений (3) и (4) находим общее решение исходной системы:

Некоторые нормальные системы дифференциальных уравнений удаётся свести к одному уравнению n-ого порядка, содержащему одну неизвестную функцию.

Сделать это можно дифференцируя одно из уравнений системы и исключая все неизвестные кроме одной. Этот метод называют методом исключений

Пример: . Продифференцируем (1) поt:. Подставивиз (2) получим:- решая линейное уравнение второго порядканайдём к²-1=0; и к_1,2=подставив в (3) получими Подставив х в (1) найдём