Энергия электрона в водородоподобном атоме

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией Ψ, удовлетворяющей уравнению Шредингера

; ) Ψ = 0,

где m –масса, Е – полная энергия электрона в атоме.

Приведенное уравнение Шредингера имеет решение, удовлетворяющее однозначности, конечности и непрерывности волновой функции только при собственных значениях энергии

, (n = 1, 2, 3, …)

т.е. для дискретного набора отрицательных значений энергии (как для частицы в “потенциальной яме” и линейного гармонического осциллятора).

Возможные значения Е₁, Е₂, Е₃, … показаны на рис. 174 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень Е₁ (при n=1), отвечающий линейной возможной энергии- основной, все остальные Е_n>E₁ (при n=2, 3, 4 …) – возбуждённые.

При Е<0 электрон является связанным – он как бы находится внутри гиперболической “потенциальной ямы”.

По мере роста n уровни располагаются теснее и при n = ∞ потенциальная энергия становится равной нулю Е_n =0. При Е>0 движение электрона является свободным, электрон покидает атом и атом становится ионизированным.

Энергия ионизации атома водорода равна

E_i = - E₁ = = 13,55 эВ.

Выражение для собственного значения энергии совпадает с выражением для энергии, полученному Бором, без использования его гипотезы и постулатов. Это выражение получается непосредственно из квантовой теории, т.е. из решения уравнения Шредингера.

Квантовые числа

В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера удовлетворяют собственные функции , определяемые тремя квантовыми числами n, l и m_l, главным n, орбитальным l и магнитным m_e.

Главное квантовое число n определяет энергию состояния, энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения

n = 1, 2, 3, …

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса L_e (механический орбитальный момент) электрона квантуется, т.е. приобретает дискретные значения, определяемые формулой

,

где l – орбитальное квантовое число; l = 0, 1, 2,.. ,(n - 1), т.е. принимает n целочисленных значений.

Это число определяет момент импульса электрона в атоме. Из решения уравнения Шредингера следует, что вектор L_e может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция L_ez на направление z внешнего магнитного поля принимает квантовые значения, кратные ħ

L_ez = ħ m_l,

где m_l – магнитное квантовое число. m_l = 0, ±1, ±2, …, ±l, т.е. имеет всего (2l+1) значений. Магнитное квантовое число m_l определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем этот вектор может иметь (2l + 1) ориентаций в пространстве.

Наличие квантового числа m_l должно приводить к расщеплению в магнитном поле уровня с главным квантовым числом n на (2l +1) подуровней, что и наблюдал Зееман в 1896 г. на спектральных линиях. Расщепление уровней в электрических полях наблюдал Штарк.

Атом водорода при одном и том же главном квантовом числе n и одном значении энергии может находиться в разных состояниях: орбитальное квантовое число l может изменяться от 0 до n – 1, а каждому значению l соответствует (2l +1) различных значений m_l. Значит общее число возможных состояний, соответствующих данному значению n, равно n²

.

В силу наличия волновых свойств у электрона, квантовая механика вообще отказалась от представления об электронных орбитах. Каждому энергетическому состоянию соответствует волновая функция, квадрат модуля которой определяет вероятность обнаружения электрона в единице объема.

Вероятность обнаружения электрона в различных частях атома различна. Электрон при своём движении как бы “размыт” по объёму, образуя электронное облако, густота которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных частях объёма атома. В квантовой механике считается, что квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного “облака”, а квантовое число m_e характеризует ориентацию электронного “облака” в пространстве.