Ограниченность механического детерминизма

Уравнения классической механики в совокупности с заданными начальными условиями дают возможность предсказать поведение механической системы в будущем. Это положение носит название детерминизма (определенности) классической механики.

В квантовой механике дело обстоит иначе. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга невозможно одновременно точно определить в начальный момент времени значения величин координаты и скорости, необходимых для предсказания поведения механической системы. В данный момент времени можно вычислить только вероятность, с которой ее (систему) можно обнаружить в данной области (точке) пространства, т.е. достоверные понятия классической механики – координата, скорость и т.д. становятся вероятностными.

Конечная величина постоянной Планка необычайно мала по сравнению с масштабами физических величин классической физики, поэтому неопределенность физических явлений классической физики пренебрежимо мала. Отсюда вытекает детерминизм классической физики.

В квантовой физике эта неопределенность уже значительна и она не дает возможности описывать события согласно требованиям детерменизма. Детерменизм в квантовой физике заменяется вероятностными законами.

Частица в одномерной прямоугольной “потенциальной яме” с бесконечно высокими “стенками”

Качественный анализ решения квантово-механической задачи проведем на примере простейшей задачи о частице в одномерной “потенциальной яме” с бесконечно высокими “стенками”. Для простоты считаем, что частица движется только вдоль оси х. Такая “яма” описывается потенциальной энергией U, имеющей следующие значения:

U(x) = ∞ при x < 0,

U(x) = 0 при 0 ≤ x ≤ l,

U(x) = ∞ при x > 0,

где l - ширина “ямы” (рис. 166). Уравнение Шредингера для стационарных состояний запишется (для одномерной задачи)

.

Рис. 166

По условию задачи частица не может проникнуть за пределы “ямы”, так как внутри “ямы” её потенциальная энергия равна нулю. Поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами “ямы” равна нулю. На границах “ямы” ( при х=0 и х=l) волновая функция в силу непрерывности также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия имеют вид

Ψ(0) = Ψ(l) = 0.

Так как в пределах “ямы” (0 ≤ x ≤ l) U = 0, то уравнение Шредингера сведется к виду

,

или , где k² =

Общее решение этого уравнения : Ψ(х) = Аsin kx + Bcos kx.

Так как Ψ(0) = 0, то Аsin 0+ Bcos 0 = 0, откуда В = 0, и тогда

Ψ(х) = Аsin kx .

Условие Ψ(l) = Аsin kl = 0 выполняется только при kl = nπ, где n – целые числа, т.е. необходимо, чтобы . Тогда

откуда

(n = 1, 2, 3, …).

Таким образом, уравнение Шредингера для данной задачи удовлетворяется только при собственных значениях Е_n, зависящих от целого числа n. Следовательно энергия Е_n частицы принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантовые значения энергии Е_n называются уровнями энергии, а число n, определяющее уровни энергии частицы, называется главным квантовым числом.

Определим вид собственной функции

Ψ(х) = Аsin kx ; ; Ψ(х) = Аsin.

Постоянную А найдем из условия нормировки

1

Учитывая, что среднее значение sin² равно ½, получим

, ; откуда .

Собственные функции будут иметь вид

, (n = 1, 2, 3, …).

На рис. 167 и 168 приведены графики собственных функций и плотности вероятности обнаружения частицы для уровней с n = 1, 2, 3. В квантовом состоянии с n =2 частица не может находиться в середине “ямы”, в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение чаcтицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Энергетический интервал между двумя соседними уровнями n и n+1 будет

Для значений n существенно больших 1 можно приблизительно считать, что

ΔЕ_n ≅ .

Если размер “ямы” соизмерим с атомом (l ∼10^-10 м), то для электрона в атоме ΔЕ_n 10^-17 Дж, т.е. получаются явно дискретные уровни энергии. Для свободных электронов в металле l10^–1м, Е_n ≃n·10^-37Дж, т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным.