Итак, для нахождения радиуса сходимости степенного ряда предлагается формула
.
(10.10)
Найдя
радиус сходимости
,
можно записать интервал сходимости
и
исследовать сходимость данного степенного
ряда па концах интервала, положив в ряде
,
а затем
.
Если при х=
ряд сходится, значит, он абсолютно
сходящийся, то есть он сходится и при
.
Пример
10.10.
Найти
область сходимости ряда:
а)
;
Решение.
Здесь
.
Найдем
.
Интервал
сходимости
.
Проверим, сходится ли ряд на концах этого интервала.
Пусть
. Подставляя
это значение х
в степенной ряд, получим числовой ряд
с положительными членами
.
Он расходится потому что представляет
собой сумму членов гармонического ряда
с нечетными знаменателями.
Пусть
теперь
,
тогда получим знакочередующийся ряд
,
который сходится по признаку Лейбница.
Итак, область сходимости степенного
ряда
.
б)
Найти область сходимости ряда
.
Решение.
Здесь
.
Бесконечный
радиус сходимости означает, что ряд
сходится на всей числовой оси
при любых действительныхх.
10.9. Разложение функций в степенные ряды
Если
степенной ряд сходится на интервале
,
то каждому значениюх
из этого интервала сходимости соответствует
некоторая сумма ряда. То есть сумма
степенного ряда есть функция от х
на интервале сходимости. Обозначая ее
через
можно записать равенство
(10.11)
понимая
его так, что при каждом
сумма,
стоящая справа в ряде(10.11)
равна значению функции
при том жех.
Говорят, что ряд сходится к функции
на интервале сходимости. Равенство
(10.11), справедливое
на интервале сходимости, называют
разложением
функции в степенной ряд.
Теорема 1. Степенной ряд (10.11) можно почленно дифференцировать любое число раз в интервале его сходимости, причем получающиеся новые ряды имеют тот же интервал сходимости.
Теорема
2. Степенной
ряд
(10.110
можно любое число раз почленно
интегрировать в пределах от
0 до x,
если
,
причем получающиеся новые ряды имеют
тот же интервал сходимости, что и исходный
ряд.
Эти две теоремы позволяют расширить область применения степенных рядов.
Если
функция у
=
имеет ограниченные производные любого
порядка, то ее можно разложить в степенной
ряд, называемыйрядом
Тейлора:
(10.12)
Если в ряде (10.12) положить а = 0, то получим ряд, носящий название ряд Маклорена:
Пример
10.11.
Разложить в ряд Маклорена функции: а)
.
Решение.
Эта функция не изменяется при
дифференцировании, то есть
.
Поэтому при х=0
имеем
.
Подставляя найденные значения функции
и производных в ряд
(10.13) получим
разложение
.
(10.14)
Здесь и ниже в конце формулы в скобках указан интервал сходимости степенного ряда.
б)
Решение.
Подставляя эти коэффициенты в ряд (10.13) получим разложение для синуса
(10.15)
в)
Решение. Продифференцируем почленно ряд для синуса. Будем иметь
или
(10.6)
г)
.
Решение.
Подставляя эти значения коэффициентов в ряд (10.13), получим биномиальный ряд:
(10.17)
д)
.
Решение.
Запишем биномиальный ряд для случая,
когда
.
(10.18)
Почленно интегрируя от 0 до х, получим
,
или
,
или
(10.19)
е)
.
Решение. В ряде (10.18) вместо х положим х3. Получим
Почленно интегрируя, как в предыдущем примере от 0 до х, будем иметь
. (20.10)