10. Аппроксимация зависимостей

10. Аппроксимация

ЗАВИСИМОСТЕЙ

Excel располагает средствами, позволяющими прогнозировать процессы. Задача аппроксимации возникает в случае необходимости аналитически описать явления, имеющие место в жизни и заданные в виде таблиц, содержащих значения аргумента (аргументов) и функции. Если зависимость удается найти, можно сделать прогноз о поведении исследуемой системы в будущем и, возможно, выбрать оптимальное направление ее развития. Такая аналитическая функция (называемая еще трендом) может иметь разный вид и разный уровень сложности в зависимости от сложности системы и желаемой точности представления.

10.1. Линейная регрессия

Самый простой и популярной является аппроксимация прямой линией – линейная регрессия.

Пусть мы имеем фактическую информацию об уровнях прибыли Y в зависимости от размера X капиталовложений – Y(X). На рис. 10.1-1 показаны четыре такие точки М(Y,X). Пусть также у нас имеются основания предполагать, что зависимость эта линейная, т.е. имеет вид Y=А+ВX. Если бы нам удалось найти коэффициенты A и B и по ним построить прямую (например, такую, как на рисунке), в дальнейшем мы могли бы сделать осознанные предположения о динамике бизнеса и возможном коммерческом состоянии предприятия в будущем. Очевидно, что нас бы устроила прямая, находящаяся как можно ближе к известным точкам М(Y,X), т.е. имеющая минимальную сумму отклонений или сумму ошибок (на рисунке отклонения показаны пунктирными линиями). Известно, что существует только одна такая прямая.

Рис. 10.1-1

Для решения этой задачи используют метод наименьших квадратов ошибок. Разность (ошибка) между известным значением Y₁ точки М₁(Y₁,X₁) и значением Y(X₁), вычисленным по уравнению прямой для того же значения X₁, составит

₁ = Y₁ – A– B•X₁.

Такая же разность

для X=X₂ составит ₂ = Y₂ – A – B•X₂;

для X=X₃ ₃ = Y₃ – A – B•X₃;

и для X=X₄ ₄ = Y₄ – A – B•X₄.

Запишем выражение для суммы квадратов этих ошибок

Ф(A,В)=(Y₁–A–B•X₁)²+(Y₂–A–B•X₂)²+(Y₃–A–B•X₃)²+(Y₄–A–B•X₄)²

4

или сокращенно Ф(B,A) = (Yi – A – BXi)².

i=1

Здесь нам известны все X и Y и неизвестны коэффициенты A и B. Проведем искомую прямую так (т.е. выберем A и B такими), чтобы эта сумма квадратов ошибок Ф(A,B) была минимальной. Условиями минимальности являются известные соотношения

Ф(A,B)/A=0 и Ф(A,B)/B=0.

Выведем эти выражения (индексы при знаке суммы опускаем):

[(Yi–A–B•Xi)²]/A =(Yi–A–B•Xi)(–1)

[(Yi–A–B•Xi)²]/B =(Yi–A–B•Xi)(–Xi).

Преобразуем полученные формулы и приравняем их нулю

2(–Yi +B•Xi +A) = 0

2(–Xi•Yi +B•Xi² +A•Xi) = 0.

Сократим выражения на 2 и раскроем скобки. Тогда

–Yi + BXi + A = 0

–Xi•Yi + BXi² + AXi = 0.

Мы получили систему из двух линейных алгебраических уравнений, в которой неизвестными являются A и B, а сумма N единиц равна N (в нашем случае 1=4).

Перенесем свободные члены в правую часть и для упрощения записи опустим индексы при знаке суммирования. Окончательно получим:

BX + NA =Y

BX² + AX =XY.

Решив эту систему с помощью любого известного метода линейной алгебры, получим

N

B=

A=

.

•XY – X•Y X²•Y – X•XY

N•X² – X•X N•X² – X•X

В случае, если величина Y зависит не от одного, а от нескольких параметров Y(x,z, ...w), задача нахождения коэффициентов решается аналогично и называется задачей множественной регрессии.

Оценить функциональную близость (в линейном смысле) значений Х и Y можно с помощью коэффициента корреляции R, который находится по следующей формуле

R=

.

N•XY – X•Y

N•X² – X•X N•Y² – Y•Y

Принято считать, что при R0,3 наблюдается слабая линейная связь, при R=0,30,7 – средняя, при R0,7 – сильная, при R0,9 – весьма сильная связь, при R=1 – полная функциональная связь (все точки Y(X) лежат на одной прямой). Необходимые вычисления удобно выполнить, пользуясь таблицей, изображенной на рис. 10.1-2.

Полученное уравнение регрессии таково: Y=0,64+1,8X.

Для анализа результатов найдем значение функции Y(X) для всех заданных аргументов (столбец F). Видим, что расхождение между фактическими и полученными значениями достаточно заметно. Для вычисления коэффициента корреляции R нам понадобится еще значение суммы квадратов функции (столбец G). В нашем случае R=0,722.

Используемые клеточные формулы приведены ниже.

D4=B4*C4, E4=B4^2,

G4=C4^2, F4=E$2+D$2*B4,

D2=(СЧЁТ(B4:B13)*D14–B14*C14)/(СЧЁТ(B4:B13)*E14–B14*B14),

E2=(C14–D2*B14)/СЧЁТ(B4:B13),

G2=(СЧЁТ(B4:B13)*$D$14–$B$14*C14)/

(КОРЕНЬ(СЧЁТ(B4:B13)*$E$14–B14*B14)*

КОРЕНЬ(СЧЁТ(B4:B13)*$G$14–$C$14*$C$14)).

	A	B	C	D	E	F	G
1
2	Y =	a+bx	=	0,64	+1,80x	R=	0,722
3	i	Xi	Yi	Xi*Yi	X2	Y расч.	Y2
4	1	1	1	1	1	2,44	1,0
5	2	2	5	10	4	3,07	25,0
6	4	3	6	18	9	3,71	36,0
7	3	4	5	20	16	4,35	25,0
8	5	5	4	20	25	4,98	16,0
9	6	6	3	18	36	5,62	9,0
10	8	7	4	28	49	6,25	16,0
11	7	8	6	48	64	6,89	36,0
12	9	9	9	81	81	7,53	81,0
13	10	10	10	100	100	8,16	100,0
14		55	53	344	385		345

Рис. 10.1-2

Содержимое клетки Е2 представлено в пользовательском формате вида +#,00"x";–0,00"х" с тем, чтобы отображался и знак плюс и буква Х.

В строке 14 все формулы являются суммами вышележащих ячеек в диапазоне с 4 по 13 строки.

Таким образом, если нам понадобится вычислить ожидаемое значение прибыли Y в будущем, например, при капиталовложениях в сумме 20 единиц, нужно подставить их в найденную функцию Y=0,64+1,8*20= 36,64. Однако достоверность такого предположения может оказаться не достаточно высокой, ввиду того, что линейное описание процесса, возможно, слишком примитивно. Техника аппроксимации более сложными функциями будет изучена ниже. Сначала рассмотрим встроенные функции Excel (ЛИНЕЙН() и ТЕНДЕНЦИЯ()) для более быстрого нахождения коэффициентов уравнения линейной регрессии.

ЛИНЕЙН(<известное Y>;<известное X>) – вычисляет два коэффициента линейного уравнения регрессии для множества значений независимой переменной Х и зависимой переменной Y. Результат выводится в две смежные ячейки – сначала коэффициент при Х, затем – свободный член. Ввиду этого функция должна вводиться как функция обработки массива: выделяются две ячейки для результата, вводится функция и нажимаются клавиши Ctrl+Shift+Enter (вместо обычного Enter).

Пример. Если исходные данные расположены так, как показано на рис. 10.1-3, и в В4:C4 введена функция

{=ЛИНЕЙН(B2:K2;B1:K1)},

результаты в клетках В4 и С4 можно интерпретировать как коэффициенты линейного уравнения регрессии

y = 0,6364x + 1,8.

ТЕНДЕНЦИЯ(<известное Y>;<известное X>;<новое X>)

– вычисляет ожидаемое новое значение Y для нового Х, если известны некоторые опытные значения X и Y. Вычисления делаются в предположении, что Х и Y зависят линейно.

Пример: Исходные данные расположены (рис. 10.1-3) в клетках G4 и G5, результаты – в Н4 и Н5

H4=ТЕНДЕНЦИЯ($B$2:$K$2;$B$1:$K$1;G4)

H5=ТЕНДЕНЦИЯ($B$2:$K$2;$B$1:$K$1;G5).

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
1	X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	Y	1	5	6	5	4	3	4	6	9	10
3
4		0,6364	1,80				12	9,44
5							4,5	4,66

Рис. 10.1-3

Рис. 10.1-4

Таким образом, при Х=12 ожидается Y=9,44, а при Х=4,5; Y=4,66.

Используя значения X и Y с помощью Excel, построим график, совмещенный с линией регрессии (линией тренда), как показано на рис. 10.1-4.

 В Excel имеется очень простой способ строить линейную аппроксимацию равноотстоящих значений аргумента. Для этого нужно выделить известные значения прогнозируемой величины и потянуть за маркер заполнения, удерживая правую кнопку мыши. Затем, из появившегося контекстного меню (его фрагмент приведен на рис. 10.1-5) выбрать пункт Линейное приближение. В заполняемых клетках мы обнаружим значения, вычисленные системой для найденного ею линейного уравнения регрессии.

Рис. 10.1-5

На рис.10.1-6 исходными значениями являются 2, 4, 5. Остальные числа являются вычисленным прогнозом в предположении линейной связи аргументов в соответствии с найденным Excel уравнением.

2

4

5

6,67

8,17

9,67

11,17

12,67

Рис. 10.1-6

Здесь же (рис.10.1-7), при необходимости, можно выбрать и Экспоненциальное приближение.

2

4

5

8,55

13,52

21,37

33,80

53,44

Рис. 10.1-7

Графическое отображение обеих кривых представлено на рис. 10.1-8.

Рис. 10.1-8

С помощью средств деловой графики Excel можно не только построить необходимые кривые, но получить линии тренда и соответствующие им уравнения Y(X) (здесь y=1,5x+0,6667 для линейного закона, y=1,368e^0,4581x – для экспоненты). Экспоненциальная аппроксимация обозначена прямоугольными точками, линейная – кружками. Исходные точки обведены овалом.