2.6. Прямой, обратный и дополнительный коды и их использование при выполнении арифметических операций

В большинстве компьютеров с целью упрощения конструкции АЛУ операция вычитания не используется. Она заменяется операцией сложения путем замены знака вычитаемого на противоположный и прибавления его к уменьшаемому:

В связи с этим для машинного изображения отрицательных чисел используют прямой, дополнительный и обратный коды.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково – двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде (см., например, рис. 2.8в).

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение. Рассмотрим эти коды и их применение на примере отрицательных чисел, представленных в форме с фиксированной запятой.

1. Прямой код числа получается, если в знаковый разряд поместить цифру 1, а в разряды числовой части числа - двоичный код его абсолютной величины.

2. Обратный код получается инвертированием (заменой на обратные значения) всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы – нулями.

Пример. Число: -1

Код модуля числа (в однобайтовом формате) 0,0000001

Обратный код 1,1111110

Представление числа в разрядной сетке показано на рис. 2.10

1

1

1

1

1

1

1

0

Рис. 2.10.

Пример. Число –127

Код модуля числа 0,1111111

Обратный код числа 1,0000000. Представление числа в обратном коде показано на рис. 2.11

1

0

0

0

0

0

0

0

Рис. 2.11

3. Дополнительный код получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.

Пример. Представление числа –1 в дополнительном коде показано на рис. 2.12

1

1

1

1

1

1

1

1

Рис. 2.12

Представление числа –127 в дополнительном коде показано на рис. 2.13

1

0

0

0

0

0

0

1

Рис. 2.13

Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

Использование различных способов изображения отрицательных чисел в ЦВМ обуславливает целый ряд особенностей выполнения операции алгебраического сложения двоичных чисел.

При сложении обратных кодов чисел Х₁и Х₂имеют место четыре основных и два особых случая.

1. Х₁>0 иX₂>0. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака.

Пример

Десятичная запись Двоичные коды

0	0000101
+
0	0001001
0	0001110

(5)

+

(9)

(14)

2. Х₁>0,X₂<0 и |X₂|>X₁

Пример

Десятичная запись Двоичные коды

0	0000011
+
1	1110101
1	1111000

3

       +

Обратный код числа -10₁₀

-10

Обратный код суммы

-7

При переводе обратного кода (обр) в прямой (пр) получим:

1. 1111000_обр=1  0000111_пр= -7₁₀

3. Х₁>0,X₂<0 и |X₂|<X₁

Пример

Десятичная запись Двоичные коды

0	0001010
+
1	1111100
0	0000110
	+1
0	0000111

10

       +

Обратный код числа -3₁₀

-3

7

Полученный непосредственно сразу неверный результат (число 6) исправляется путем переноса единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При этом получается правильный результат – число 7₁₀

4. Х₁<0 иX₂<0

Пример.

Десятичная запись Двоичные коды

1	1111100
+
1	1111000
1	1110100
	+1
1	1110101

Обратный код числа -3₁₀

-3

       +

Обратный код числа -7₁₀

-7

-10

Обратный код числа -10₁₀

Полученный непосредственно сразу неверный результат (обратный код числа –11₁₀) исправляется путем переноса единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

При выполнении операции может появиться число, старшие разряды которого не помещаются в отведенной для него области памяти – возникает переполнение разрядной сетки формата числа. Рассмотрим два возможных случая переполнения.

1. Х₁>0 , X₂>0 и S=X₁+X₂2^n-1, гдеn– количество разрядов формата числа (для однобайтового форматаn=8, 2^n-1=2⁷=128)

Пример

Десятичная запись Двоичные коды

0	1000001
+
0	1100001
1	0100010

65

       +

97

Переполнение

162

Здесь имеет место переполнение разрядной сетки: семи разрядов цифровой части недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (162₁₀=10100010₂), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде и знак суммы оказывается несовпадающим со знаком слагаемых, что является признаком переполнения разрядной сетки.

2. Х₁<0,X₂<0 иS=|X₁|+|X₂|2^n-1

Пример

Десятичная запись Двоичные коды

1	1000000
+
1	0100000
0	1100000
	+1

Обратный код числа -63₁₀

-63

       +

Обратный код числа -95₁₀

-95

-158

Переполнение

Здесь также знак суммы не совпадает со знаками слагаемых, что является признаком переполнения разрядной сетки.

При сложении дополнительных кодов чисел Х₁и Х₂имеют место те же четыре основных и два особых случая.

1. Х₁>0 иX₂>0. Аналогично случаю 1 для обратных кодов.

2. Х₁>0,X₂<0 и |X₂|>X₁.

Пример.

Десятичная запись Двоичные коды

0	0000011
+
1	1110110
1	1111001

3

       -

Дополнительный код числа -10₁₀

10

Дополнительный код числа -7₁₀

-7

При переводе дополнительного (доп) кода в прямой (пр) получим:

3. Х₁>0,X₂<0 и |X₂|<Х₁

Пример

Десятичная запись Двоичные коды

0	0001010
+
1	1111101
0	0000111

10

       -

Дополнительный код числа -3₁₀

3

перенос отбрасывается

7

Единица переноса из знакового разряда отбрасывается.

4. Х₁<0,X₂<0

Пример

Дополнительный код числа -3₁₀

Десятичная запись Двоичные коды

1	1111101
+
1	1111001
1	1110110

-3

       +

Дополнительный код числа -7₁₀

-7

Дополнительный код числа -10₁₀

-10

перенос отбрасывается

Случаи переполнения разрядной сетки аналогичны случаям переполнения для обратных кодов.

Сравнение использования обратного и дополнительного кодов показывает, что преобразование отрицательного числа в обратный код занимает меньше времени, однако время выполнения сложения в дополнительных кодах меньше, чем в обратных, так как в этом случае отсутствует необходимость переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.