2.4. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Перевод чисел из q-ичной системы счисления в десятичную при ручном счете для небольших чисел может быть осуществлен по формуле (2.5). Например,

В общем виде задачу перевода числа из одной системы счисления в другую можно представить как задачу определения коэффициентов нового ряда, изображающего число в новой системе счисления. Все действия должны выполняться по правилам исходной системы. После нахождения максимальной степени нового основания, проверяют «вхождение» в заданное число всех степеней нового основания, меньших максимального.

Пример. Перевести десятичное число А=96 в троичную систему счисления.

96₁₀=10120₃

Рассмотренный в этом примере прием может быть использован только при ручном переводе. Для реализации машинного алгоритма перевода число разделяют на целую и дробную части и каждую часть переводят отдельно.

Перевод целых чисел осуществляется делением на основание новой системы. При этом целое число в новой системе счисления образуется начиная с младшего разряда из остатков, получаемых в результате последовательного деления целого числа на основание новой системы счисления. Процесс деления продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю или меньшим основания.

Рассмотрим перевод целых чисел на примере перевода из десятичной системы в двоичную.

Пусть дано целое десятичное число А₁₀. Перевести его в двоичную систему счисления – значит представить в виде

Задача заключается в нахождении коэффициентов a₀,a₁,a₂… которые могут принимать значение 0 или1. Разделив целое число А₁₀на 2, получим новое целое числои остатокa₀, являющийся младшим разрядом двоичного числа.

Разделив новое число А₁на 2 получим новое целое числои остатокa₁, являющийся следующим разрядом двоичного числа и т.д. до тех пор, пока целая часть не станет равной 0.

Пример 1. Перевести десятичное число А=18 в двоичную систему счисления.

Разделив целое число 18 на 2, получим новое целое число А₁=9 и остаток а₀; разделив целое число А₁ на 2 получим новое целое число А₂= 4 и второй остаток а₂и т.д. Сказанное можно записать в виде.

А₁=9a₀=0

А₂=4a₁=1

А₃=2a₂=0 18₁₀=10010₂

А₄=1a₃=0

А₅=0a₄=1

Перевод можно выполнить и в столбик

	18		2
	18		9		2
а	о=0		8		4		2
		а	1=1		2		2	2
				а	2=0		2	1	=а4
						а	3=0

18₁₀=10010₂

Пример 2. Перевести десятичное число А=37 в двоичную систему счисления.

37		2
1		18		2
		1		9		2
				1		4		2
						0		2		2
								0		1

37₁₀=100101₂

Пример 3. Перевести десятичное число А=249 в восьмеричную систему счисления.

249		8
1		31	8
		7	3

249₁₀=371₈

Пример 4. Перевести двоичное число А₂=1101001 в десятичную систему счисления. Основание 10 изображается в двоичной системе счисления эквивалентом 10₁₀=1010₂

	1101001		1010
	1010		1010			1010
	001100		-1010			а2=	0001
	1010	а1=	0000
	а0=0101

1101001₂=105₁₀.

а₀=0101=5₁₀, а1=0000=0₁₀; а₂=0001=1₁₀

Перевод правильных дробей осуществляется умножением на основание новой системы исчисления. При этом дробное число в новой системы счисления образуется начиная со старшего разряда из целых частей, получаемых в результате последовательного умножения дробной части числа на основание новой системы счисления. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока дробная часть не будет равна нулю (число переводится точно) или пока не получим требуемое число разрядов нового числа (число переводится приближенно).

Рассмотрим перевод правильных дробей на примере перевода из из десятичной системы в двоичную.

Пусть дано дробное десятичное число В10. Перевести его в двоичную систему счисления – значит представить в виде:

Задача заключается в нахождении коэффициентов b₁,b₂,b₃и т.д.

Умножив число Bна 2 получим

Умножив дробную часть В₁на 2 получим

и т.д. до тех пор, пока дробная часть не станет равной 0 или не получим требуемое число двоичных разрядов.

Пример 1. Перевести десятичное число B=0,45 в двоичную систему счисления.

2В=0,90 В₁=0,90b₁=0

2В₁=1,80 В₂=0,80b₂=1 0,45₁₀=0,0111₂

2В₂=1,60 В₃=0,60b₃=1

2В₃=1,20 В₄=0,20b₄=1

Перевод можно выполнить и в столбик.

	0,	45
		*2
b1	=0,	90
		*8
b2	=1,	80
		*2
b3	=1,	60
		*2
b4	=1,	20
		*2
b5	=0,	40

0,45₁₀=0,0111₂

Пример 2.

Перевести десятичное число В=0,45 в восьмеричную систему счисления

0,	45
	*8
3,	60
	*8
4,	80
	*8
6,	40

0,45₁₀=0,346₈

Пример 3. Перевести двоичное число В=0 1101 в десятичную систему счисления (10₁₀=1010₂)

	0,	1101
		1010
в1=8	1000,	0010
		1010
в2=1	0001,	0100
		1010
в3=2	0010,	1000
		1010
в4=5	0101	0000

0,1101₂=0,8125₁₀

В случае если исходное число состоит из целой и дробной частей каждая часть переводится отдельно, а затем они суммируются.

Пример 1. Перевести число 35,5₁₀в двоичную систему счисления

Перевод целой части Перевод дробной части

0,	5
	*2
1	0

35		2
1		17		2
		1		8		2
				0		4		2
						0		2		2
								0		1

74		8
2		9	8
		1	1

0,510=0,1₂

35₁₀=100011₂

В итоге 35,5₁₀=100011,1₂

Пример 2. Перевести число 74,5₁₀в восьмеричную систему счисления

0,	5
	*8
4	0

74₁₀=112₈0,5₁₀=0,4₈

В итоге 74,5₁₀=112,4₈

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно основан на использовании соотношения 2³=8. Поэтому перевод восьмеричного числа в двоичную систему счисления осуществляется путем замены каждой цифры восьмеричного числа ее двоичным эквивалентом - 3-х разрядным двоичным числом (триадой).

Пример. Перевести восьмеричное число А₈=341,05₈в двоичную систему счисления

341,05₈

341,05₈=011 100 001,000 101₂

011 100 001, 000 101

Для перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления число нужно разбить на триады влево и вправо от запятой и каждую триаду заменить ее восьмеричным эквивалентом.

Пример. Перевести двоичное число 1101101,1101 в восьмеричную систему счисления

001 101 101, 110 100₂

 1     5     5       6     4 1101101,1101₂=155,64₈

Перевод шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления основан на соотношении 2⁴=16 и осуществляется путем представления каждой цифры числа в виде четырех разрядного двоичного числа (тетрады).

Пример. Перевести шестнадцатеричное число 5A7B,6Eв двоичную систему счисления

5A7B,6E₁₆

5A7B,6E₁₆=0101 1010 0111 1011,0110 1110₂

0101 1010 0111 1011 0110 1110

Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления число нужно разбить на тетрады влево и вправо от запятой и каждую тетраду заменить ее шестнадцатеричным эквивалентом.