Скорость

Быстрота и направление движения точки характеризуется скоростью. Скорость векторная величина. Пусть точка перемещается из положения А в положение В (рис.3). В момент времени t положение материальной точки характеризует радиус-вектор r₀. За малый промежуток времени Δt точка прошла путь Δs до положения В и совершила элементарное перемещение Δr. Вектором средней скорости называют отношение

‹ v › = Δr /Δt [м/c]

Направление ‹v › совпадает с направлением Δr.

Мгновенной скоростью v называют предел отношения приращения радиуса-вектора точки Δr к промежутку времени Δt, стремящемуся к нулю

v= lim Δr /Δt = dr/dt ,

^Δt→0

т.е. v есть первая производная радиуса-вектора по времени. В пределе приΔt→0, секущая АВ совпадает с касательной и, следовательно, мгновенная скоростьv направлена по касательной в каждой точке траектории.

По мере уменьшения Δt путь ∆sбудет приближаться к значению модуля перемещения |Δr|, поэтому модуль мгновенной скорости будет равен

Из полученного выражения видно, что ds=dt. Путь s, пройденный за времяΔt, найдем, интегрируя выражениеds=vdtв пределах отtдоt+Δt

s =

В случае равномерного движения (v=const)s=vt. В самом общем случае, когда скорость является функцией времениv=v(t), путь, пройденный за времяΔt=t₂–t_1,определяется интегралом

.

Ускорение

Физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и по направлению, называется ускорением. Пусть материальная точка , двигаясь по криволинейной траектории, за время

Δtпереместилась из положения А в положение В. При этом скорость точки изменилась отvдоv_1.

v₁ = v + Δv

Изменение скорости Δv надем, если перенесем вектор v₁ из точки В в точку А (на рис.4 вектор АЕ ).

Средним ускорением ‹а ›

называется отношение изменения скорости Δv к промежутку времени Δt

‹ а › = Δv/ Δt [м/c²]

Мгновенным ускорением (или просто ускорением) a в момент времени t называют предел среднего ускорения ‹ а › при Δt , стремящемся к нулю.

.

Ускорение есть векторная величина, равная первой производной от скорости по времени.

Изменение скорости Δv представляет собой изменение скорости как по величине Δv_τ , так и по направлению Δv_n . Вектор Δv (вектор СЕ на рис. 4) разложим на две составляющие Δv_τ и Δv_n . Из рис. 4 видно, что Δv_τ , равное отрезку СД , есть изменение скорости по величине (по модулю) за время Δt, поскольку АД = | v₁|. Вторая составляющая Δv_n ( отрезок CF) характеризует изменение скорости по направлению. Изменение скорости по величине называют тангенциальным ускорением a_τ.

Величина тангенциальной составляющей ускорения

т.е. равна первой производной от модуля скорости по времени. Изменение скорости по направлению называют нормальным ускорением a_n.

Из подобия треугольников АОВ и ЕАД следует, что Δv_n / AB = v₁ / r.

Если точка А и В расположены близко друг к другу, то можно считать, что

радиус кривизны дуги АˇВ равен r что хорда АВ мало отличается от дуги AˇВ и поэтому АВ vdt. Тогда

_или

Видно, что в пределе при Δt, стремящимся к нулю, v₁ → v и тогда значение нормальной составляющей ускорения будет выражаться

где r - радиус кривизны траектории. При этом угол между векторами v и Δv_n (<FCD на рис. 4) стремится к 90⁰ , т.е. векторы v и Δv_n в каждой точке траектории оказываются взаимно перпендикулярными (рис. 5). Это значит, что вектор Δv_n направлен к центру кривизны траектории. Полное ускорение a , будет выражаться

a = a_τ + a_n ,

а его величина определяться по формуле

Итак, тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине, а нормальное ускорение- изменение скорости по направлению.

Характер движения тел определяется значениями а_τ и a_n , и его можно классифицировать по видам:

1. а_τ = 0; a_n = 0 -прямолинейное равномерное движение;

2. а_τ = а = const; a_n = 0 – прямолинейное равнопеременное движение, при котором

Если t₁=0; t₂=t; v₁ = v₂; v₂ = v, то получим

и

Интегрируя выражение ds = v dt в пределах отрезка времени от 0 до t, найдем длину пути s, пройденного телом за время t.

3. а_τ = f (t); a_n =0 - прямолинейное движение с переменным ускорением;

4. а_τ = 0; а_n = const - равномерное движение по окружности;

5. а_τ = 0; a_n ≠o - равномерное криволинейное движение;

6. а_τ = const; a_n ≠o - равнопеременное криволинейное движение;

7. а_τ=f(t); a_n ≠o -криволинейное движение с переменным ускорением.