Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть тело в системе отсчета K' обладает скоростью v', направленной по оси x' (и x): . В системе отсчетаK скорость этого тела будет . Выясним каково соотношение между скоростямиv' и v. Рассмотрим производную как отношение дифференциалов dx и dt, которые найдем, используя преобразования Лоренца:

Разделим числитель и знаменатель правой части на dt' и получим

т.е. в отличие от преобразований Галилея суммарная скорость не равна сумме скоростей, а в раз ниже. Пусть тело движется в ракете со скоростью светаv'_x = c, а ракета движется со скоростью света относительно неподвижной системы координат v₀ = c. С какой скоростью v_x движется тело относительно неподвижной системы координат ?

По преобразованию Галилея эта скорость v = v'_x + v₀ = 2c. По преобразованию Лоренца

Понятие о релятивистской динамике. Законы взаимосвязи массы и энергии. Полная и кинетическая энергия. Соотношение между полной энергией и импульсом частицы.

Движение не слишком малых тел с не очень высокими скоростями подчиняется законам классической механики. В конце XIX века экспериментально установлено, что масса тела m не является неизменной величиной, а зависит от скорости v его движения. Эта зависимость имеет вид

где m₀ – масса покоя.

Если v = 300 км/с, то v²/c² = 1∙ 10^-6 и m > m₀ на величину 5 ∙ 10^-7 m₀ .

Отказ от одного из основных положений (m= const) классической механики привел к необходимости критического анализа и ряда других его основ. Выражение импульса в релятивистской динамике имеет вид

Законы механики сохраняют свой вид и в релятивистской динамике. Изменение импульса d(mv )равно импульсу силы Fdt

dp = d(mv) = F dt.

Отсюда dp/dt = F- есть выражение основного закона релятивистской динамики для материальной точки.

В обоих случаях входящая в эти выражения масса является переменной величиной (m ≠ const) и ее также необходимо дифференцировать по времени.

Установим связь между массой и энергией. Возрастание энергии, так же как и в классической механике, вызывается работой силы F. Следовательно, dE = Fds. Разделив левую и правую части на dt, получим

Подставляем сюда

.

Умножив левую и правую части полученного равенства на dt , получим

Из выражения для массы определим

.

Продифференцируем выражение v².

Подставим v² и d(v²) в выражение для dE

Интегрируя это выражение, получим E = mc².

Полная энергия системы Е равна произведению массы на квадрат скорости света в вакууме. Связь между энергией и импульсом для частиц не имеющих массы покоя в релятивистской динамике дается соотношением

E = pc,

которое легко получить математически: E=mc² ,p=mv. Возведем оба равенства в квадрат и обе части второго домножим на с²

E² = m² c⁴ , p² c² = m² v² c² .

Вычтем почленно из первого равенства второе

E² – p² c² = m² c⁴-m² v² c² = m² c⁴ (1-v² / c² ).

Учитывая, что получим

Так как масса покоя m₀и скорость света с величины, инвариантные к преобразованиям Лоренца, то соотношение (E² - p² c² ) также инвариантно к преобразованиям Лоренца. Из этого соотношения получим выражение для полной энергии

Таким образом, из этого уравнения можно сделать вывод:

энергией обладают и материальные частицы, не имеющие массы покоя (фотоны, нейтрино). Для этих частиц формула связи энергии и импульса имеет вид E = pc.

Из приведенных выше преобразований получили dE=c²dm. Интегрирование левой части в пределах от E₀ до Е, а правой от m₀ до m, дает

E – E₀ = c² (m – m₀ ) = mc² – m₀ c² ,

где E = mc²- полная энергия материальной точки,

E₀=m₀c²- энергия покоя материальной точки.

Разность Е – Е₀есть кинетическая энергия Т материальной точки.

При скоростях v « c , разложим в ряд:

=.

Учитывая, что v « c, ограничимся первыми двумя членами в ряду.

Тогда

т.е. при скоростях v много меньших скорости света в вакууме релятивистская формула кинетической энергии обращается в классическую формулу для кинетической энергии .