Кинетическая энергия и работа при вращательном движении.

Мысленно разобьем тело на малые частицы с массами m₁, m₂, …,m_nтак, чтобы линейные скорости материальных точек составляющих эти частицы можно было считать одинаковыми. Расстояния этих частиц от оси вращения, соответственно равныr₁,r₂, …,r_n, а скорости -v₁,v₂, …,v_n. Кинетическая энергия каждой частицы будет а всего тела:

Заменим линейную скорость v_i ее выражением через угловую v_i = ωr_i.

.

Так как угловая скорость для всех точек тела одинакова, т.е. ω=const, то

Выражение , стоящее в скобках, есть сумма моментов инерции частиц тела, т.е. момент инерции J, и тогда вырaжение для кинетической энергии вращательного движения примет вид

E= J∙ω² /2,

Если тело участвует в двух движениях одновременно - в поступательном со скоростью vи вращательном со скоростью ω, то его полная кинетическая энергия равна

Работа внешней силы постоянной величины при вращении равна ΔA=т.е. равна произведению момента внешней силы на угол поворота . В общем случаеdA=Mdφи работа будет

Если М=const, тоA=M∙φ. Эта работа затрачивается на изменение кинетической энергии вращающегося тела

Основное уравнение динамики вращательного движения.

При постоянном вращающем моменте M=constугловое ускорение будет также постоянным ε =constи вращение будет равно переменным. Поэтому, если начальная скорость вращения была ω₀, а через промежуток времени Δtпод действием моментаMвнешних сил она стала ω, то угловое ускорение

и основное уравнение динамики вращательного движения примет вид:

илиMΔt=Jω -Jω_0.

Произведение MΔtназывают импульсом момента сил,Jω – моментом импульса тела. Это уравнение представляет собой выражениеосновного законадинамики вращательного движения: Импульс вращающего момента сил , действующих на тело, равен изменению момента импульса тела.

Момент импульса тела. Закон сохранения момента импульса.

Импульсом тела при всяком движении, как известно, называют величину р= mv. При изучении вращательного движения тела аналогично моменту силы вводят векторную величинуL=[rp] =m[rv], называемую момента импульса. Выясним, чем определяется изменение моментом импульсаLсо временем. Для этого продифференцируемL поt

Если мы рассматриваем материальную точку, то ее расстояние от оси вращения остается неизменным r=const. Т.е.dr/dt= 0, а следовательно,

Рассмотрим изменение момента импульса Lcдругой стороны, исходя из уравнения вращательного движения:M=Jε, ε =M/J. Если вращательный моментMпостоянен, то и угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить

где Δt=t–t₀; ω₀– начальная угловая скорость; ω – угловая скорость через промежуток времени Δt. Тогда уравнение вращательного движения, можно записать в виде

или MΔt

Сравнивая это выражение с dL/dt=M, нетрудно убедиться, чтоJω =L– есть момент импульса. Импульс момента силы и момент импульса являются величинами векторными и совпадают по направлению сM иω. При вращательном движении тела каждая его частица движется с линейной скоростьюv_i= ωr_i , гдеr_i - радиус окружности, которую описывает частица массойm; ω – угловая скорость, одинаковая для всех точек тела. Момент импульса каждой частицы тела равенL_i =m_i r_i v_i =m_i ω = ωJ_i . Суммарный момент импульса тела будет

ωωJ,

или в векторном виде L =Jω. Известно, чтоdL/dt=M, откудаdL= Mdt. Рассматривая это выражение, можно отметить, что еслиM= 0, то, a следовательно,L=const, т.е. Jω=const, еслиМ = 0.

Эта формула является выражением закона сохранения моментаимпульсател системы. Если вектор суммарного момента внешних сил, действующих на систему тел относительно неподвижной оси, равен нулюM= 0, то векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется со временем, т.е. остается постоянной

Jω=const.

Значит сумма моментов импульсов всех тел замкнутой системы сохраняется неизменной. Допустим, что у вращающегося тела происходит изменение момента инерции. Это приводит к изменению скорости вращения. Если Jвозрастает, то ω убывает, и наоборот, т.е.J₁ ω₁ = J₁ ω₂. При вращательном движении справедлив также закон, аналогичныйIIIзакону Ньютона для поступательного движения.

При взаимодействии двух вращающихся тел момент M₁ , с которым первое тело действует на второе, равен вращающему моментуM₂ , с которым второе тело действует на первое и противоположен ему по направлению

M₁ = –M_{2 .}

Если они взаимодействуют в течении промежутка времени Δt, то

M₁ Δt = – M ₂ Δt.

Используя формулу основного закона вращательного движения, это выражение можно переписать в (скалярном виде) J₁(ω'₁– ω₁) = –J₂(ω'₂– ω₂),

где ω₁ и ω₂ – угловые скорости до, а ω'₁ и ω'₂ – после взаимодействия вращающихся тел. Преобразуем это выражение:

J₁ ω₁ + J₂ ω₂ = J₁ ω' ₁ + J₂ ω' ₂ .

Отсюда следует, что сумма моментов импульса тел замкнутой системы в результате их взаимодействия остается неизменной. Обобщая этот вывод на произвольное число тел в замкнутой системе, можно записать

т.е. опять получили выражение закона сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса принадлежит к числу самых фундаментальных физических законов, так как связан с изотропностью пространства. Изотропность пространства проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы тел не зависят от выбора направления осей координат инерциальной системы отсчета, т.е. не изменяются при повороте в пространстве замкнутой системы как целого на любой угол. Изотропность - равноправность всех направлений в пространстве.

Однородность пространства - равноправность всех точек пространства. Пространство, как таковое не может изменить импульс в силу отсутствия выделенных точек, в силу их равноправия. Закон сохранения момента импульса не зависит от выбора осей координат, в чем и проявляется его фундаментальность.