Разделив обе части равенства на Δt, и переходя к пределу, получим

или .

Производная dω/dt = ε называется угловым ускорением, а соотношение a_τ=r∙ε выражает связь линейного тангенциального a_τ и углового ускорения. Угловое ускорение измеряют в рад/c² или с^-2 .

Известно, что при криволинейном движении тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине, а нормальное – по направлению и равно a_n = v²/r. Учитывая, что v= ωr, получим связь нормального ускорения с угловой скоростью:

а_n = ω²r.

Величина полного ускорения а, выраженная через характеристики вращательного движения, имеет вид

При равнопеременном вращательном движении (ε = const) формулы для определения угла поворота и угловой скорости имеют вид

.

Динамика вращательного движения

Чтобы твердое тело с закрепленной осью привести во вращение, к нему необходимо приложить силу, не проходящую через ось вращения и не параллельную ей. Вращательное движение под действием силы Fопределяется не только ее величиной, но и расстояниемdот линии ее действия до оси вращения, называемого плечом силы. Векторное произведениеM=[rF] илиM=rFsinα называютмоментом силы, гдеr- радиус-вектор, проведенный из точки О, обозначающей ось вращения, к точке приложения силы. Плечо силыd=rsinα, где α – угол, между направлением силыFи радиус-вектораr.

Разобьем мысленно тело на материальные точки массой m_icрасстоянием до оси вращенияr_i. Пусть под действием силыF тело начало вращаться. Это значит, что каждая точка тела получила ускорениеa_i, По второму закону Ньютона для каждой точки тела можно записатьF_i=m_ia_i . Умножим обе части равенства на радиус вращения точкиr_i

F_i r_i =m_i a_i r_i .

Учитывая, что a_i = r_i∙ε; M_i = F_ir_i , запишем M_i = m_ir_i² ε. Величина J_i = m_ir_i² называется моментом инерции материальной точки, а сумма моментом инерции тела относительно оси вращения. M_i= J_i∙ε. Суммируя последнее равенство по всем точкам тела, получим:

M=Jε или ε =M/J-

уравнение динамики вращательного движения, или уравнениеIIзакона Ньютона для вращательного движения. Угловое ускорение прямо пропорционально моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции тела.

Момент инерции характеризует инерционность тела при вращательном движении и зависит не только от массы тела, но и от распределения этой массы относительно оси вращения. В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами dm и момент инерции тела определяется интегралом

.

Пределы интегрирования определяются формами и размерами тела.

В тех случаях, когда ось вращения проходит через центр тяжести (или центр инерции) тела, а тело имеет правильную геометрическую форму , интегрированием легко получить выражения для момента инерции и они являются наиболее простыми. Так, момент инерции обруча, кольца и пустотелого цилиндра J = mR² ; диска и сплошного цилиндра J =; шараJ = , стержнягдеm- масса тела, R- радиус, ℓ-длина стержня.

В тех случаях, когда ось вращения проходит не через центр инерции тела, момент инерции определяется по теореме Штейнера:

J =J₀ + md² .

Момент инерцииJотносительно произвольной оси равен сумме момента инерцииJ₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела , и произведения массы телаmна квадрат расстоянияdмежду осями.

Момент инерции Jтонкого стержня длинойlотносительно осиO΄O΄, проходящей через его конец (рис. 14а) . Момент инерции шара относительно осиO^’O^’, касательной к его поверхности (рис.14б)