Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
202
Добавлен:
20.04.2015
Размер:
878.08 Кб
Скачать

Работа квазиупругой или упругой силы

Примером работы, совершаемой переменной силой, может служить работа упругой силы. При упругой деформации, например, при сжатии или растяжении пружины, сила пропорциональна величине деформации x

F= ­­–kx,

где k– коэффициент упругости. Знак “минус” говорит о противоположном направлении силы и смещенияx(деформация).

Элементарная работа сжатия равна δА = Fdxили δА = -kxdx.

Определим работу силы Fна пути отx1 доx2. Для этого проинтегрируем последнее выражение

А

Если x2=s, аx1=0, то А = -Так какF= -ks, тоA=Fs/2.Эта работа определяет запас потенциальной энергии упруго сжатой пружиныWП

WП = ks2/2 = Fs/2.

Кинетическая и потенциальная энергия. Закон сохранения энергии.

Физическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершать работу, называетсяэнергией. В механике различают два вида энергии - потенциальную и кинетическую. Кинетическая энергия - это энергия движения. Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия, обусловленная взаимным расположением тел. Пусть тело 1 массойm(рис.9), движущееся со скоростьюv, действует на соприкасающееся с ним тело с силойF.

За время dtточка приложения силы получила приращениеds=vdt, вследствие

чего тело 1 совершит работу над телом 2

δА = Fds=Fvdt

Очевидно, что в данном случае тело 1 совершает работу δА над телом 2 за счет запаса энергии dEк, которой оно обладает в силу своего движения, т.е. за счет кинетической энергии δА=dEк.

Известно, что Fdt=dp =d(mv) =mdv, и тогда δА =Fvdt=mvdv = dEк

Интегрируя это уравнение, получим

Ек

Отметим, что работа А, совершаемая над телом, равна приращению его кинетической энергии ΔЕк

А = Е2– Е1= ΔЕк.

Энергия имеет ту же размерность, что и работа– 1 Дж =1Нм=кгм2/c.

Взаимодействие тел осуществляется не только непосредственным их контактом, но и бесконтактным способом через образуемые ими поля. Свойства твердых тел не локализованы только в той области пространства, где находится центр массы, а распределены в окружающем тело пространстве, образуя силовое поле.

Если тело поставлено в такие условия, что в каждой точке пространства оно подвержено действию других тел с силой, закономерно изменяющейся от точки к точке, то говорят, что тело находится в поле сил. Например, тело у поверхности Земли находится в гравитационном поле Земли.

Поле – это один из видов материи. Как и вещество, оно обладает массой и энергией. Поле - это не абстракция, вводимая для объяснения взаимодействия. Поле – это физическая сущность, обладающая определенными физическими свойствами, по которым мы его обнаруживаем и по которым о нем судим. Поле существует в пространстве. Однако не следует понимать поле как пространство . Пространство, как и движение , есть форма существования материи и нельзя его смешивать с самой материей.

Итак, тела создают в окружаемом пространстве силовое поле.Поле сил, в котором работа , совершаемая ими над телом, не зависит от пути, а определяется только начальным и конечным положением тела в пространстве, называетсяпотенциальным, а действующие в нем силы называютсяконсервативнымисилами (в отличие от диссипативных). В потенциальном поле работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю. По определению поля сил (если тело подвергается действию со стороны других тел, закономерно изменяющемуся от точки к точке) каждой точке поля можно приписать значение некоторой функцииEп(r) , которая будет отражать эту закономерность. С помощью этой функции можно определить работу, совершаемую над телом, силами поля. Эта функция является выражением потенциальной энергии поляEп(r).

Конкретный вид этой функции зависит от характера силового поля.Так для поля тяготения Земли выражение потенциальной энергии имеет вид

En=mgh,

где m– масса тела,g- ускорение

свободного падения.Знак потенциальной энергии может быть (+) или (-) в зависимости от выбора начала отсчета высоты h(рис.10). Работа консервативных сил при элементарном

(бесконечно малом ) перемещении drравна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком “минус”, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии. δА= -dEп

Известно, что δА = Fdr, следовательно, можно записать

Fdr = –dEп.

Отсюда потенциальная энергия Eп(r) будет

Eп(r) = Fdr + С,

где С- постоянная интегрирования. Из выражения Fdr = – dEn видно, что для консервативных сил их связь с потенциальной энергией будет иметь вид

Fx= ∂Eп / ∂x; Fy= - ∂Eп / ∂y; Fz= - ∂Eп / ∂z ,

или в векторном виде F = – grad Eп , где grad ·i + ·j+ ·k.

Найдем потенциальную энергию упруго деформированного тела. Сила упругости пропорциональна деформации x

Fx упр = kx,

где Fx упр - проекция силы упругости на ось x; k –коэффициент упругости; x деформация. По третьему закону Ньютона деформирующая сила Fx равна

Fx = Fx упр = kx.

Элементарная работа δА , совершаемая силой Fx ,равна δА = Fx dx = kx dx,

а полная работа идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упруго деформированного телаEп = kx2 / 2.

Полная механическая энергия системы Е есть энергия механического движения Ек и энергия взаимодействия Еп (потенциальная энергия)

Е = Ек + Еп.

Так, тело, находящееся на высоте h над поверхностью Земли и движущееся со скоростью v, обладает полной механической энергией Е , равной

.

При движении тел системы кинетическая энергия Ек может превращаться в потенциальную Еп и наоборот. Пусть в замкнутой системе Земля-тело поднятое на высоту h тело массой m обладает потенциальной энергией Eп = mgh и начинает свободно падать. У поверхности Земли его скорость будет равна и оно приобретает кинетическую энергию

.

У поверхности Земли (h = 0) потенциальная энергия окажется равной нулю. Таким образом, потенциальная энергия превращается в эквивалентное количество кинетической энергии. Обратное превращение происходит в случае, если тело брошено вертикально вверх с некоторой скоростью v. По достижении телом высоты h, которая определится из условия v = , cкорость тела будет равна нулю и кинетическая энергия mv2 / 2 превратится в потенциальную энергию mgh. При этом полная энергия тела остается неизменной. Такой переход энергии возможен при условии, что тело находится под действием только силы, обуславливающей наличие потенциальной энергии (сила mg есть внутренняя сила в системе Земля-тело). При наличии внешних сил (в случае незамкнутой системы тел) изменение полной энергии будет происходить за счет работы, совершаемой этими силами.

Рассмотрим общий случай изменения кинетической и потенциальной энергии в замкнутой системе тел. В такой системе внешние силы отсутствуют, или их равнодействующая равна нулю. Пусть система состоит из N тел. Уравнение движения каждого i-го тела системы имеет вид:

mi∙ai =fi , или ,

где fi - суммарная внутренняя сила, действующая на i-е тело со стороны остальных (N-1) тел системы.

Пусть внутри системы каждое из его тел за промежуток времени dt совершает перемещение dsi. Умножим скалярно левую и правую части уравнения на dsi

Учитывая, что dsi/dt = vi , получим mi v id v i = fi dsi . Левую часть этого равенства можно представить в виде а правая часть есть элементарная работа δAi=fi ∙ ds по перемещению i-го тела системы. Тогда d(Ek)i = δAi , т.е. изменение кинетической энергии i-го тела системы равно работе внутренних сил. Просуммируем последнее выражение по всем N телам системы

В замкнутой системе действуют консервативные силы и их работа δА равна убыли потенциальной энергии dEп

δ А = -dEп.

Следовательно , предыдущее равенство можно переписать в виде

dEk =-dEп или dEk +dEп =0; d(Ek п )=0,

откуда следует, что

E =Ekп = const,

Т.е. полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной. Эта формула и формулировка выражают существо закона сохранения механической энергии.

Если в системе действуют и неконсервативные силы (например, сила трения), то полная механическая энергия системы не сохраняется и в этом случае выполняется более общий закон сохранения энергии.

Соседние файлы в папке физика