Уравнение бегущей волны
Уравнением волны называется выражение, которое описывает смещение колеблющейся точки от положения равновесия как функцию ее координат x, y, z и времени:
Эта функция – периодическая , так как:
Описывает колебания точки с координатами x, y, z, поэтому будет периодической по t;
Точки, отстоящие на расстоянии λ друг от друга, колеблются одинаковым образом, значит функция будет периодической по координатам.
Н
айдем
вид функции, предполагая, что колебания
носят гармонический характер,
распространяются вдоль положительного
направления оси х, а волна является
плоской (рис. 29). В этом случае координатыyиzне будут
влиять на вид функции и она будет зависеть
только отxиt.
Пусть источник колебаний находится в
плоскости с координатой
x=0, т.е. расположен в начале
координат,
и колеблется в соответствии с уравнением 
.
Найдем вид уравнения колебаний частиц в произвольной плоскости или в точке с координатой х. Путь от плоскости с координатой х=0
до
данной плоскости с координатой х волна
пройдет за время
,
гдеv
– скорость распространения волны.
Следовательно,
колебания частиц, лежащих в плоскости
х, будут отставать по времени от колебаний
частиц в плоскости с координатой х=0 на
величину
и выражение для функции
(x,
t)
можно записать в виде
Выражение
представляет собой уравнение плоской
бегущей волны. Здесь
- смещение от положения равновесия
любой из точек среды, имеющей координату
х в момент времени t
; А – амплитуда колебаний при условии,
что энергия волны не поглощается средой
; выражение
называется фазой колебания и дает связь
между временемt
и координатой х в каждой фиксированной
точке пространства.
Зафиксируем
какое-либо значение фазы, положив ее
значение постоянным
=const,
и найдем с какой скоростью
перемещается данное значение фазы в
пространстве. Если продифференцируем
это выражение по x и t, то получим
Таким образом, скорость распространения волны v в уравнении волны есть скорость перемещения фазы и ее называют фазовой скоростью.
Если вернуться к рис. 28, иллюстрирующему процесс распространения волны в пространстве, то на нем видно как поступательно от точки к точке по оси х перемещается одна и та же фаза (в нашем случае нулевая).
Из
уравнения
видно, что скорость положительна, т.е.
уравнение=(x,t)
описывает волну, распространяющуюся в
положительном направлении оси х.
Уравнение волны распространяющейся в
противоположном направлении, имеет
вид:
.
Действительно, приравняв фазу константе и дифференцируя фазу, получим
Знак “минус” означает, что волна распространяется в сторону убывания х.
Уравнению плоской волны можно придать симметричный вид относительно t и х. Для этого введем волновое число
k=2 π/λ.
Учитывая,
что
получим
Подставляя
значение
в уравнение плоской волны, получим
Уравнение волны является решением некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. Возьмем вторые частные производные от
по х и по t.
Сопоставляя правые части этих двух выражений, видим что
Это дифференциальное или волновое уравнение волны, распространяющейся вдоль оси х. Для трехмерного случая волновое уравнение имеет вид
