Циркуляция вектора напряженности. Связь напряженности и потенциала

Рассмотрим работу сил электрического поля при перемеще­нии зарядаQ₀ из точки 1 по замкнутому контуру L (рис. 75). Эта работа на элементарном отрезке dl контура будет равна , а на всём контуре

Если в результате перемещения мы вернулись опять в точку 1, то работа по перемещению заряда Q₀ , будет равна

A = Q₀ (φ₁ – φ₁) = 0.

Следовательно, Так как Q₀0, то .

Такой интеграл называют циркуляцией вектора Е по замкнутому контуру L. За­писанное равенство читается так: циркуляция вектора напряженности электри­ческого поля по замкнутому контуру равна нулю. Это справедливо для электростатических полей, т.е. полей, создаваемых неподвижными зарядами. Или более обще – для по­тенциальных полей.

Электрические поля можно описать с помощью силовой ха­рактеристики – вектора Е, а также с помощью энергетической ха­рактеристики – скаляра φ – потенциала. Очевидно, что между этими величинами должна существовать связь.

Рассмотрим электрическое поле, создаваемое зарядом Q. В этом поле возьмем 2 точки с координатами х и х + Δх (рис.76). Пусть потенциал, создаваемый этим зарядом, описывается некото­рой функцией φ (х). Расстояние между точками возьмем

столь малым, чтобы для приращения потенциала Δφ можно было записать

Рис.76

Тогда работа А по перемещению заряда Q^/ из точки 1 в точку 2 будет равна

Для этой же работы можно написать ее выра­жение через силу

Расстояние Δх надо выбирать таким малым, чтобы на этом отрезке считать F_x и E_x постоянными. Знак ( - ) озна­чает, что работа совершается против сил поля.

Приравнивая эти выражения для работы, получаем

.

Здесь мы рассмотрели изменение потенциала и напряженности поля вдоль одной координаты х. Но в силу однородности пространства это равенство справедливо и для других координат:

Или, если записать в векторном виде

Выражение, стоящее в скобках, называется градиентом функции т.е. градиентом потенциала φ

Е = - grad φ,

т.е. напряженность характеризует быстроту изменения потенциала, или разность потенциалов, приходящуюся на единицу длины сило­вой линии. Если поле однородно, то напряженность поля равна (на­пример, для плоского конденсатора с разностью потенциалов U и расстоянием между его обкладками d) E = U/d. Отсюда видно, что напряженность можно измерять в В/м.

Напряженность и потенциал электрического поля диполя

Электрический диполь – это система из двух равных по ве­личине разноименных зарядов Q₁-Q₂=Q расположенных на малом расстоя­нии l друг от друга.

Расстояние между зарядами l – вектор, направленный по полю от -Q к +Q, называют плечом диполя (рис. 77).

Величина р, равная p = Q∙l называ­ется электрическим моментом ди­поля.

Л

Рис. 77

иния, проходящая через оба заряда, назы­ваетсяосью диполя. Определим напряжен­ность поля, создаваемую диполем на его оси. В точке, расположенной на оси посредине ме­жду зарядами (рис.77а), напряженность поля обоих зарядов равна и будет суммироваться

Е = Е₁ + Е₂ = 2Е₁ = 2Е₂.

Напряженность поля в точке А, ле­жащей на продолжении оси диполя на рас­стоянии r от средней точки диполя В, (рис. 77б) будет равна геометрической сумме напряженностей Е₁ и Е₂ от обоих зарядов. По абсолютной ве­личине Е будет равно

Рис. 77

Принимая во внимание, что lr можно пренебречь значе­ниями l² в знаменателе. Тогда получим

Вычислим напряженность поля в точке С, лежащей на рас­стоянии r на перпендикуляре, восстановленном из средней точки В (рис. 77в). Так как r₁ = r₂, то очевидно

Из рисунка видно, что cos α = l/2r₁ , тогда

Так как r »l , то можно считать, что r r₁, и тогда

Напряженность поля в произвольной точке пространства оп­ределяется по формуле

При α = π получаем напряженность на оси диполя.

При α = π/2 получаем напряженность на перпендикуляре к оси ди­поля.