Соединение конденсаторов в батарею

Система из нескольких конденсаторов называется батареей. Рассмотрим два типа соединения конденсаторов в батарею.

1. Параллельное соединение (рис. 90).

У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на обкладках одинакова и равна (φ_А – φ_В ). Если емкости конденсаторов С₁ , С₂ , …С_n , то

Q₁ = C₁ (φ_А – φ_В )

Q₂ = C₂ (φ_А – φ_В )

Q₃ = C₃ (φ_А – φ_В )

. . . . . . . . . . . . .

Q_n = C_n (φ_А – φ_В ).

Заряд батареи будет равен сумме зарядов Q = = (C₁+C₂+. . .+C_n)(φ_А–φ_В).

Полная емкость батареи будет равна

С = = (C₁ + C₂ + . . . + C_n ) = .

2. Последовательное соединение (рис. 91)

У последовательно соединенных конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю, а разность потенциалов на зажимах батареи Δφ равна

Δφ = ,

где разность потенциалов для любого из рассматриваемых конденсаторов равна.

Таким образом, разность потенциалов батареи конденсаторов будет

По определению , откуда получаем

При последовательном соединении суммируются обратные величины емкостей и результирующая емкость батареи С всегда меньше наименьшей емкости, используемой в батарее.

Энергия зарядов, проводников, конденсаторов и электростатического поля. Объемная плотность энергии

1. Энергия системы точечных неподвижных зарядов. Электростатические силы консервативны и система зарядов обладает потенциальной энергией. Пусть заряды Q₁ и Q₂ находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией

,

где φ₁₂ и φ₂₁ – соответственно потенциалы, создаваемые зарядом Q₂ в точке нахождения заряда Q₁ , и наоборот.

; .

Поэтому W₁ = W₂ =W = Q₁ φ₁₂ = Q₂ φ₂₁ = ½ (Q₁ φ₁₂ + Q₂ φ₂₁).

Добавляя к системе из двух зарядов последовательно заряды Q₃ , Q₄ , …, Q_n, можно убедиться, что энергия взаимодействия системы зарядов равна

,

где φ_i – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q_i , всеми зарядами, кроме i-го.

2. Энергия заряженного уединенного проводника. Пусть имеется уединенный проводник, заряд, емкость и потенциал которого Q, C, φ.

Увеличим заряд на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконечности к поверхности проводника, затратив на это работу, равную

dA = φdQ = C φd φ

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до потенциала равного φ необходимо совершить работу

Энергия заряженного проводника будет равна этой работе

Учитывая, что , эту энергию можно представить в виде

3. Энергия заряженного конденсатора. Как всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией

где Q - заряд конденсатора, С – его емкость и Δφ – разность потенциалов между обкладками.

Используя выражение для энергии, можно найти механическую (пондеромоторную) силу, с которой пластины конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние х между пластинами меняется на величину dx. Тогда действующая сила совершает работу равную dA =Fdx за счет уменьшения потенциальной энергии Fdx = - dW, откуда .

Подставляя в формулу энергии выражение емкости, получим

.

Дифференцируя W по х, найдем силу F

,

где знак “минус“ указывает, что сила F стремится уменьшить расстояние между пластинами, т.е. является силой притяжения. Подставляя выражение плотности зарядов на пластинках , получим.

Учитывая напряжённость поля, что Е = , получим

.

Давление на пластины диэлектрика, помещенные в зазоре конденсатора, будет

4. Энергия электростатического поля. Преобразуем формулу энергии плоского конденсатора, используя формулыи Δφ = Еd.

Получим ,

где V – объем пространства между пластинами конденсатора, в котором сосредоточена энергия его поля W.

Объемная плотность энергии поля w – это энергия, заключённая в единице объёма электрического поля и она равна

.

Единица измерения [Дж/м³].

Видно, что объемная плотность энергии поля зависит только от характеристик поля и среды.