3.9. Графическая интерпретация кривых роста

На практике для описания тенденции развития, следовательно, выбора типа функции, широко используются модели кривых роста. Рассмотренные выше нами функции в обобщенном виде графически представлены на рис. 7. Эти кривые могут существенно облегчить процесс выбора типа кривых:

а) полином первого порядка ();

б) полином второго порядка ();

в) полином третьего порядка ();

г) показательная функция ();

д) модифицированная экспонента ();

е) кривая Гомперца ();

ж) логистическая кривая ().

Последнее иногда представляется следующим образом:

.

При t → -∞ ордината стремится к нулю, а при t → ∞ - к асимптоте, равной значению параметра К. Кривая симметрична относительно точки перегиба с координатами t = е_nb : a; y_t = K : 2.

Как видно из графика 6, логистическая функция сначала возрастает ускоренными темпами, затем темп роста замедляется и, наконец, рост почти прекращается, подтверждением является то, что кривая асимптотически приближается к некоторой прямой, параллельной оси абсцисс.

1. Полином первого порядка ()

2. Полином второго порядка ()

3. Полином третьего порядка ()

4. Показательная функция ()

5. Модифицированная экспонента ()

6. Кривая Гомперца ()

7. Логистическая кривая ()

Рис. 6 Кривые роста

3.10. Доверительные интервалы прогноза

Одна из основных задач, возникающих при прогнозировании, заключается в определении доверительных интервалов прогноза. Интуитивно понятно, что в основе расчета доверительности интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда. Чем выше эта колеблемость, тем шире интервал для прогноза. Следовательно, вопрос о доверительном интервале прогноза следует начать с рассмотрения измерителя колеблемости. Обычно таким измерителем является среднее квадратическое отклонение:

,

где - соответственно фактическое и расчетное значения ряда;

f – число степеней свободы, определяемое в зависимости от числа наблюдений (n) и числа оцениваемых параметров.

f = n – z,

где z – число оцениваемых параметров.

Например, для параболы второй степени f = n – 3, третьей степени f = n – 4 и т.д.

Сумму квадратов отклонений от тренда можно разложить следующим образом:

Последнее выражение можно упростить. Допустим, что начало отсчета находится в середине ряда, тогда , а параметрыа и b будут равны:

; .

После преобразований получим:

Разность первых двух членов правой стороны равна сумме квадратов отклонений от средней арифметической, т.е. .

Таким образом,

Последнее выражение показывает, что сумма квадратов отклонений от линий тренда меньше, чем от средней арифметической.

Сумма квадратов отклонений от линий тренда, т.е. и среднее квадратическое отклонение от трендаSy является основой при определении средней квадратической ошибки параметров.

Прежде чем приступить к определению доверительного интервала прогноза, следовало бы сделать оговорку. Дело в том, что предположение о нормальности распределения отклонений вокруг линии регрессии не может ни утверждаться и не быть проверено при анализе рядов. Дискуссии еще в 30-40-х годах пролили свет на трудности, связанные с этой проблемой. В итоге, принципиальный новый подход так и не был найден. Все предложения так или иначе связаны с определением доверительного интервала на основе оценки среднего квадратического отклонения членов ряда.

Полученные в ходе оценивания параметры не свободны от погрешности. Расчетные значения несут на себе груз неопределенности, связанной с ошибками в значении параметров.

В общем виде доверительный интервал прогноза определяется как

,

где - средняя квадратическая ошибка;

- расчетное значение у_t;

- значение t-критерия Стьюдента.

Если t = I + L, то последнее определит значение доверительного интервала на L единиц времени.

Доверительный интервал прогноза должен учитывать не только неопределенность, но возможность отклонения, т.е. диапазон варьирования. Если обозначим среднюю квадратическую ошибку как S_p, тогда доверительный интервал прогноза составит: