3.3. Модели прогнозирования

Интерес к будущему возникает из непосредственной и острой практической потребности. Необходимость предвидения вероятного исхода отдельных экономических составляющих, в частности, спроса, предложения, стоимостных показателей, емкости рынка и т.д. особенно важна для бизнесменов, предпринимателей, менеджеров и т.п.

Предвидение событий позволяет заблаговременно приготовиться к ним, учесть их положительные и отрицательные последствия, а если есть возможность, то вмешаться в ход развития, контролировать его и, что более важно исследовать альтернативы будущего состояния.

Процессу прогнозирования предшествует аналитическая оценка исходной системы. Она должна производиться на основе охвата комплекса внутренних и внешних факторов. Затем происходит процесс прогнозирования, следовательно, и прогностическая оценка показателей.

Как правило, процесс прогнозирования осуществляется на основе формул:

1. y = a + bt

2. y = a + bt + ct²

3. y = a + bt + ct² + dt³ и т.д.

Прогнозирование также может осуществляться на основе следующих формул:

или

;

;

;

и другие.

(для оценивания параметров прямой).

(для параболы второй степени).

(для параболы третьей степени).

Поскольку полином выше третьей степени встречаются крайне редко при обработке динамических данных, то стандартные уравнения для них приводить не будем.

Для расчета величины ∑t, ∑t² … получены следующие формулы:

В случае если полином имеет невысокую степень, то нет необходимости прибегать к трудоемким операциям. Достаточно воспользоваться формулами:

;

.

Или после преобразования получим более удобные выражения:

; .

Иногда происходит перенос начала координат в середину ряда динамики. В этом случае упрощаются сами стандартные уравнения и расчеты.

Для прямой:

Для параболы второй степени:

Для параболы третьей степени:

Следовательно:

(для прямой).

;

(для параболы второй степени).

;

;

;

.

Значения ∑t², ∑t⁴, ∑t⁶ можно получить по следующим формулам для нечетного n:

; ;

.

Для четного:

; ;

.

Пример. Предположим, имеются данные, которые характеризуют динамику спроса на товары потребления за 15 месяцев (табл. 1).

Таблица 1

Динамика спроса за 15 месяцев

№ пп	у	№ пп	у	№ пп	у
1	18,3	6	26,3	11	37,8
2	19,4	7	29,4	12	39,3
3	21,6	8	31,8	13	41,8
4	23,4	9	33,4	14	44,3
5	25,8	10	35,6	15	47,4

При этом коэффициент использования производственных мощностей не превышает 65%, а насыщенность потребительского рынка 85%.

Требуется предвидеть дальнейшее поведение спроса, если сложившаяся тенденция сохранится.

Исходя из данных таблицы, тенденция может быть описана на основе следующих функции:

1. y_t = a + bt

2. y_t = a + bt + ct²

Начнем исследование спроса с линейной функции:

y_t = a + bt

Составляем систему стандартных уравнений:

Для решения системы стандартных уравнений составляем вспомогательную таблицу:

Таблица 2

Расчет параметров системы

№ пп	уt (ф)	t ∙ yt (ф)	t2	t2 ∙ yt (ф)
1	18,3	18,3	1	18,3
2	19,4	38,8	4	77,6
3	21,6	64,8	9	194,4
4	23,4	93,6	16	374,4
5	25,8	129,0	25	645
6	26,3	157,8	36	946,8
7	29,4	205,8	49	1440,6
8	31,8	254,4	64	2035,2
9	33,4	300,6	81	2705,4
10	35,6	256,0	100	3560,0
11	37,8	415,8	121	4573,8
12	39,3	471,6	144	5659,2
13	41,8	543,4	169	7064,2
14	44,3	620,2	196	8682,8
15	47,4	711,0	225	16665,0
∑t=120	∑уt =475,6	∑t ∙ yt = 4381,1	∑t2=1240	t2 ∙ yt =48642,7

Составляем систему стандартных уравнений в количественном отношении:

Решаем систему:

(2) – (1)

4,8 – 2,3b | b = 2,1

31,71 = a + 8 ∙ 2,1

a = 14,91.

Итак, у_t = 14,91 + 2,1t.

Согласно выявленной функции оценка уровня спроса при t = 0 равна 14,91 млн. рублей, среднемесячный прирост спроса 2,1 млн. рублей.

Для прогнозирования спроса на базе выявленной функции на одну точку в период необходимо в нее подставить соответствующие значения временного периода, т.е. t = 16, 17 … 20 …

Итак, прогнозное значение спроса:

у_t16 = 14,91 + 2,1 ∙ 16 = 48,51.

у_t17 = 14,91 + 2,1 ∙ 17 = 50,61.

у_t20 = 14,91 + 2,1 ∙ 20 = 56,91.

2. Исследование спроса осуществить на основе параболистической функции

y_t = a + bt + ct²

Составляем систему:

Решение системы стандартных уравнений можно упростить. Для расчета суммы получены следующие формулы:

;

;

;

.

В нашем случае:

;

;

;

Получим количественную систему:

	475,6 = 15a + 120b + 1240с	: 15
	4381,1 = 120a + 1240b + 14400c	: 120
	48642,7 = 1240a + 14400b + 2455200c	:1240

31,71 =а + 8b + 82,7c (1)

36,51 = a + 10,73b + 120c (2)

39,23 = a + 11,61b + 1980c (3)

(3) – (1)

7,52 = 2,33b + 1897,3c

(3) – (2)

2,72 = 1,28b + 1860c

Имеем:

	7,52 = 2,33b + 1897,3c	: 2,33
	2,72 = 1,28b + 1860c	: 1,28

3,23 = b + 814,28c (1)

2,13 = b + 1453,13c (2)

(1) – (2)

1,1 = 638,84с | c = 0,0017.

3,23 = b + 814,29 ∙ 0,0017;

b = 3,23 – 1,38 = 1,85

31,71 + а + 8b + 82,7c

31,71 = a + 8 ∙ 1,85 + 82,7 ∙ 0,0017

a = 31,71 – (14,8 + 0,14) = 31,71 – 14,94 = 16,77

Итак, у_t = 16,77 + 1,85t + 0,0017t².

Прогноз спроса:

у_t(16) = 16,77 + 1,85 ∙ 16 + 0,0017 ∙ 162 = 16,77 + 29,6 + 0,44 = 46,81;

у_t(17) = 16,77 + 1,85 ∙ 17 + 0,0017 ∙ 172 = 16,77 + 31,45 + 0,49 = 48,71;

у_t(20) = 16,77 + 1,85 ∙ 20 + 0,0017 ∙ 202 = 16,77 + 37,0 + 0,68 = 54,45.