3.4. Экспоненты
Исследование спроса, а также других экономических показателей в зависимости от количественных данных возможно осуществить на основе показательных функций. Рассмотрим ряд функций.
Самая простая показательная (экспоненциальная) кривая имеет вид:
уt = abt (1)
Если b> 1, то кривая растет вместе с ростомt, падает, еслиb< 1.
Прологарифмировав (1), получим:
ℓog yt = ℓog a + tℓog b .
Введем обозначения:
α = ℓog а, β = ℓog b.
Тогда, ℓog yt =α + βt, т.е. логарифм ординаты линейно зависит отt.
Более усложненным вариантом экспоненциальной кривой является кривая, следующего вида:
yt =abt ct2, т.е. логарифмическая парабола. В самом деле:
ℓog yt = ℓog a + tℓog b +t2ℓog c.
В ряде случаев, когда процесс характеризуется насыщением, его описание имеет смысл лишь при помощи кривой, имеющей асимптоту, отличающуюся от нуля. Наиболее простым представителем семейств таких кривых является кривая, получившая название модифицированной экспоненты. Ее отличие от простой экспоненты (1), в том что в нем содержится дополнительное слагаемое К:
yt = К + abt (2)
Эта функция имеет горизонтальную асимптоту у = к, и ее график стремится к асимптоте либо приt→∞,либо приt→ -∞, но никогда не пересекает.
На рис. 3 показаны четыре варианта кривой: из них чаще встречается вариант, при котором рост уровня происходит с замедлением и уровень стремится к некоторому пределу. В этом случае a <0,b <1.
Error: Reference source not foundError: Reference source not found
Error: Reference source not foundError: Reference source not found
Рис. 3. Модифицированная экспонента
(четыре варианта)
3.5. Кривая Гомперца и логистическая кривая
В некоторых расчетах нашла себе применение S-образная кривая, получившая название кривой Гомперца. Функция имеет вид:
уt = Kabt
На рис. 4 представлены четыре варианта этой функции:
Error: Reference source not found
a
) б)
в) г)
Рис. 4. Кривая Гомперца
Наибольший интерес представляет кривая Гомперца, у которой ℓog a <0, b < 1 (вариант а на рис. 2). Рассматривая кривую Гомперца, можно выделить четыре этапа в развитии уровня, границы между которыми более или менее условны. Если коэффициентbменьше единицы (при отрицательномℓog a) , то обнаруживается, что на первом этапе прирост незначителен. Причем он медленно увеличивается по мере роста t, на следующем этапе прирост увеличивается быстрее, затем после перегиба приросты начинают уменьшаться. Вблизи от линии асимптоты приросты опять незначительны.
Если в модифицированной экспоненте уt = K + abtвместоyt ввести обратную величину, т.е. 1/yt,получим вторуюS-образную кривую – логистическую кривую (рис. 5).
,
которую иногда называют кривой Перла-Рида.
Error: Reference source not found
Рис. 5. Логистическая кривая Перла-Рида
Логистическую кривую чаще записывают в следующем виде:
,
где е– основание натуральных логарифмов;
f(t)– некоторая функция отt( обычноf(t) = - at),
тогда,
.
Если b= 1, а вместо натуральных логарифмов взять за основание десятичных логарифмов и принять, чтоf(t) =а + b(t),получим логистической кривой:
.
Логистическая кривая схожа с кривой Гомперца. Обе кривые характеризуют рост с изменяющимся отношением прироста к ординате. Отличие заключается в том, что у кривой Гомперца постоянны отношения первых разностей логарифмов, а у логистической неизменны отношения первых разностей обратных их значений.
Экспоненциальные кривые хорошо описывают процессы имеющие "лавинообразный" характер, т.е. когда прирост зависит в основном от достигнутого уровня, при этом различного рода ограничения, факторы практически не берется во внимание.
В сущности, S-образные кривые описывают два последовательных лавинообразных процесса: один с ускорением развития, другой – с замедлением.
Модифицированная экспонента, кривая Гомперца и логистическая кривая при определенных значениях своих параметров имеют асимптоты, проходящие выше этих кривых, поэтому эти кривые пригодны для описания различного вида экономических и иных процессов. Например, S-образные кривые находят применение в оценке количественных показателей спроса, выпуска продукции, доходности и т.д.