Примеры

Пример 1. Построить полигон распределения по результатам выборки

	4	5	7	10
	0,35	0,1	0,1	0,45

Здесь - относительная частота значения.

Пример 2. В результате испытания СВ Х последовательно приняла следующие значения: 9, 3, 11, 7, 7, 6, 8, 12, 4, 6, 14, 1.

Составить таблицу статистического распределения, разбив промежуток [0, 15] на три участка (); построить гистограмму относительных частот.

Ниже представлены таблица статистического распределения и гистограмма относительных частот.

	(0, 5)	(5, 10)	(10, 15)
	3	6	3
	0,25	0,5	0,25

Заштрихованная площадь равна 1.

Пример 3. Найти статистическую функцию по данному статистическому распределению:

				=>
	1	4	6
	0,2	0,3	0,5

График функции представлен на рис.

Точки ,,являются точками разрываI рода.

Пример 4. В итоге пяти измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 92, 94, 103, 105, 106.

Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений;

б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

Решение. а) Выборочная средняя определятся по формуле

(1)

где - варианта выборки,- частота варианты,- объем выборки.

Для определения перейдем к условным вариантам.

Тогда .

б) Значение выборочной дисперсии определяется по формуле

(2)

.

Исправленная выборочная дисперсия

.

Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный параметр. Вероятностьназываетсядоверительной вероятностью.

1. Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожиданиянормально распределенного количественного признакапо выборочной среднейпри известном СКОгенеральной совокупности служит доверительный интервал

(1а)

где - точность оценки,- объем выборки,- значение аргумента функции Лапласа(Приложение 3), при котором; при неизвестном(и объеме выборки)

, (1b)

где - исправленное выборочное СКО,находят по таблице (Приложение 4) по данными.

2. Интервальной оценкой (с надежностью ) СКОнормально распределенного количественного признакапо исправленному выборочному СКОслужит доверительный интервал

(при ) (2а),

(при ) (2b),

где находят по таблице (Приложение 5) по заданными.

Пример 1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного МО а нормально распределенного признака генеральной совокупности, если генеральное СКО,,.

Решение. Все величины, входящие в формулу (1а), кроме , известны. Найдемиз соотношения. По таблице (Приложение 3) находим. Наконец, по формуле (1а) получим доверительный интервал .

Пример 2. Проведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, при этом исправленное СКО случайных ошибок измерений оказалось равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Решение. Точность прибора характеризуется средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений. Поэтому задача сводится к отысканию доверительного интервала, покрывающего с заданной надежностью. Воспользуемся формулой (2а), для чего по данным ипо таблице (Приложение 5) найдем. Подставляя значенияив указанную формулу, получим.

Задачи

1. Построить полигон частот по данному распределению выборки

	15	20	25	30	35
	10	15	30	20	25

2. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:

Номер интервала	Частичный интервал	Сумма частот вариант частичного интервала
1	0-2	20
2	2-4	30
3	4-6	50

3. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема :

	1250	1275	1280	1300
	20	25	50	5

Указание. Перейти к условным вариантам .

4. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака генеральной совокупности, если известны генеральное СКО, выборочная средняяи объем выборки:

a);

b) .

5. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна , если известно СКО генеральной совокупности.

Тема 9

Определение законов распределения на основе опытных данных. Критерии проверки статистических гипотез.

Линейная корреляция. Выборочное уравнение

прямой линии регрессии от

Практическое занятие включает:

- применение критериев Пирсона и Романовского для установления правдоподобности гипотезы о нормальном распределении СВ, заданной статистическим распределением;

- нахождение выборочного уравнения прямой линии регрессии отпо данным корреляционной таблицы.

Вопросы

1. Что такое статистическая гипотеза?

2. Изложите принцип проверки статистической гипотезы с использованием статистического критерия.

3. Поясните принципы использования критериев Пирсона и Романовского.

4. В чем состоит процесс выравнивания статистического ряда?

5. Какой вид имеет выборочное уравнение прямой линии регрессии от? Объясните смысл входящих в него величин.

1. Критерий Пирсона.

Вводится величина ,

где - относительные частоты, заданные статистической таблицей,- вероятности, полученные по некоторому теоретическому закону распределения.

Затем рассматривают разность , где- число разрядов статистической таблицы,- число условий, налагаемых на частоты,, …,; числоназывается числом степеней свободы. Для нормального распределения.

Используя таблицу (Приложение 1), по значениям иопределяют величину, характеризующую вероятность согласованности теоретического и статистического распределений.

Если , то можно сделать вывод, что теория плохо воспроизводит эксперимент.

Если , то гипотеза о принятом теоретическом распределении не противоречит опытным данным.