Лабораторная работа №6. Решение задачи распределения ресурсов

Нахождение оптимального решения во многих практически важных задачах предполагает анализ и выбор в определенном множестве допустимых решений элемента, при котором предприятие получит максимальную прибыль. Здесь "допустимый план" означает план, который может быть реально выполнен с учетом всех возможностей предприятия, т.е. с учетом ограничений на материальные, энергетические, людские и тому подобные ресурсы. В данном случае критерием оптимальности является достижение максимума целевой функции – дохода. Таким образом, рассматриваемая задача – это задача нахождения максимума целевой функции на множестве допустимых решений. Последнее определяется рядом ограничений на переменные задачи, которые задаются в виде неравенств и равенств. Задачи такого вида обычно называются задачами распределения ресурсов.

Пример. Предприятие изготавливает и продает краску двух видов: для внутренних внешних работ. Для производства краски используется два исходных продукта А и В. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок и запасы этих продуктов на складе приведены в таблице 6.1. Цена за 1 т краски для внутренних работ составляет 2 000 руб., краска для наружных работ продается по 1 000 руб. за 1 т. требуется определить, какое количество краски каждого вида следует производить предприятию, чтобы получить максимальный доход.

Таблица 6.1

Исходные данные для решения задачи

Исходный продукт	Расход продуктов (в тоннах на 1 т краски)		Запас продукта на складе (т)
	Краска для внутренних работ	Краска для внешних работ
А	1	2	3
В	3	1	3

Математическая модель задачи

1. Переменные задачи:

Обозначим: х₁ – количество производимой краски для внутренних работ; х₂ – соответствующее количество краски для наружных работ.

2. Ограничения, которым должны удовлетворять переменные задачи:

х₁, х₂ ≥ 0;

по расходу продукта А: х₁,+2х₂ ≤ 3;

по расходу продукта В: 3х₁,+ х₂ ≤ 3.

В левых частых последних двух неравенств определены расходы продуктов А и В, а в правых частях неравенств записаны запасы этих продуктов.

3. Целевая функция задачи.

Обозначим Z – доход от продажи краски (в тысячах рублей), тогда целевая функция задачи записывается так:

Z = 2х₁,+ х₂.

Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти maxZ = 2х₁,+ х₂, при ограничениях:

х₁,+2х₂ ≤ 3;

3х₁,+ х₂ ≤ 3.

х₁, х₂ ≥ 0.

Так как переменные задачи х₁их₂ входят в целевую функцию и ограничения задачи линейны, соответствующая задача оптимизации называется задачей линейного программирования (ЛП).

Решение задачи распределения ресурсов в процедуре exceLс помощью команды «Поиск решения»

Ввод данных в таблицу EXCELпоказан на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Исходные данные

На рис. 6.1 «Краска 1» обозначает краску для внутренних работ, «Краска 2» — краску для наружных работ.

Для переменных задачи х, и х₂отведены ячейки ВЗ и СЗ. Эти ячейки называются рабочими, или изменяемыми ячейками. В изменяемые ячейки ничего не заносится и в результате решения задачи в этих ячейках будут запи­саны оптимальные значения переменных.

В ячейку D4 вводится формула для вычисления целевой функции зада­чи (дохода) Z= 2х, + х₂. Чтобы сделать это, надо выполнить следующие действия:

1. Поставить курсор в ячейкуD4;

2. Открыть вкладку «Формулы» в верхней панели управления;

В разделе«Математические» выбрать функцию — «СУММПРОИЗВ». В появившемся окне (рис. 6.2) в поле «массив 1» ввести (протаскивая курсор мыши по ячейкам) адреса изменяемых ячеек ВЗ:СЗ. В поле «массив 2» вводятся адреса ячеек содержащих цены на краски В4:С4, после нажать ОК.

Рис. 6.2. Ввод целевой функции

В ячейку D7 вводится формула для вычисления израсходованного количества продукта А: х, + 2х₂, а в ячейку D8 вводится формула для израсходованного количества продукта В: 3х, + х₂. Обе формулы вводятся аналогично целевой функции.

Проверить результаты ввода можно следующим образом: при установке курсора в ячейку D4 в строке ввода должно появиться: «=СУММПРОИЗВ(ВЗ:СЗ;В4:С4)>>.

В ячейку D7: «=СУММПРОИЗВ(ВЗ:СЗ;В7:С7)>>.

В ячейки D8: «=СУММПРОИЗВ(ВЗ:СЗ;В8:С8)>>.

Работа в окне «Поиск решения»

Во вкладке «Данные» выбираем процедуру «Поиск решения».

В появившемся окне нужно установить адрес ячейки D4, содержащей формулу для вычисления целевой функции, значение целевой функции –максимальное, адреса изменяемых ячеек: ВЗ:СЗ.

Чтобы ввести ограничения задачи, нужно нажать кнопку «Добавить». В появившемся диалоговом окне (рис. 6.3) слева ввести адрес D7 (израсхо­дованное количество продукта А), затем выбрать знак <= и в правой части ввести количество продукта А на складе, равное 3 (или адрес ячейки Е7).

Рис. 6.3. Диалоговое окно

После ввода нажать кнопку «Добавить» и аналогично ввести второе ограничение: D8 <= 3. Снова нажать кнопку «Добавить» и ввести ограниче­ние: ВЗ:СЗ >= 0 (соответствующее ограничению х_и х₂>= 0). После ввода по­следнего ограничения нажать ОК. После ввода всех ограничений окно «Поиска решений имеет» будет иметь следующий вид (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Диалоговое окно параметров «Поиска решений»

Выбрать метод решения «линейных задач симплекс-методом». После нажать кнопку «Найти решение».

Рис. 6.5. Диалоговое окно для выбора вида отчета

Если решение найдено, то появляется диалоговое окно для выбора видаотчета (рис. 6.5).

Для просмотра результатов выбираем тип отчета: «Результаты» и нажи­маем кнопку ОК. В появившихся трех таблицах (рис. 6.6) приводятся ре­зультаты поиска. Из этих таблиц видно, что в оптимальном решении:

производство краски 1 = ВЗ = 0,6;

производство краски 2 = СЗ = 1,2;

при этом доход = D4 = 2,4;

расход ресурса А = D7 = 3;

расход ресурса В = D8 = 3.

Рис. 6.6. Отчет о результатах поиска решения

Таким образом, оба ресурса являются дефицитными (соответствующие этим ресурсам ограничения называются связанными).

«Отчет по результатам» состоит из трех таблиц (рис. 6.7):

в таблице 1 приводятся сведения о целевой функции;

в таблице 2 приводятся значения переменных задачи;

в таблице 3 показаны результаты поиска для ограничений задачи.

Первоначальная таблица EXCEL заполняется результатами, получен­ными при решении (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Первоначальная таблица с результатами