3.2. Формула Аккермана

Аккерманом [2] была предложена формула для вычисления элементов матрицы К, удовлетворяющей уравнению (3-17); в этом разделе она приводится без доказательства.

Рассмотрим схему моделирования в канонической форме управляемости для объекта п-ro порядка, изображенную на рис. 3.3. Каждый блок, обозначенный символом интеграла, имеет передаточную функцию s. Таким образом, объект имеет передаточную функцию

Уравнения состояния для данной системы имеют вид:

(3-19)

Отметим особенность матрицы коэффициентов А для данной системы. Все элементы этой матрицы равны нулю, кроме элементов, расположенных над главной диагональю (они рав-

Рис. 10.3. Каноническая форма управляемости

ны единице) и элементов последней строки. В последней строке находятся коэффициенты характеристического уравнения системы со знаком минус. Если система имеет матрицу А подобного вида, мы сразу можем записать ее характеристическое уравнение. Закон управления, согласно (10-13), записывается в виде:

Поэтому для замкнутой системы в матрице (А - ВК) член ВК для канонической формы управляемости имеет вид:

Матрица коэффициентов замкнутой системы А/-= А - ВК тогда запишется в виде:

Эта матрица характерна для канонической формы управляемости; поэтому характеристическое уравнение замкнутой системы записывается в виде:

Желаемое характеристическое уравнение замкнутой системы, согласно (3-16), имеет вид:

Приравнивая в двух последних уравнениях коэффициенты при одинаковых степенях s, получим:

Следовательно, искомые коэффициенты определяются выражениями

Последнее выражение представляет собой общее решение задачи синтеза путем размещения полюсов для системы с одним входом и одним выходом, но для этого необходимо, чтобы модель системы соответствовала канонической форме управляемости. Это требование трудно выполнить, поскольку переменные состояния в такой модели обычно не соответствуют естественным переменным состояния реальной системы и поэтому не являются теми переменными, которые должны отражать физическую сторону процессов, происходящих в реальной системе. Кроме того, в общем случае переменные состояния системы, представленной в канонической форме управляемости, могут быть недоступны для измерения.

Формула Аккермана основана на преобразовании подобия, которое переводит заданную модель произвольной структуры в каноническую форму управляемости, после чего с помощью (3-22) определяются искомые коэффициенты К,. Затем по¬лученное решение пересчитывается обратно применительно к исходной структуре. Эти действия выполняются с помощью формулы Аккермана:

где (А) — матричный полином, образованный путем использования коэффициентов желаемого характеристического уравнения ас(л), т е

Выражение (3-23) для матрицы К может быть вычислено на компьютере Проиллюстрируем применение формулы Аккермана следующим примером

Пример 3.1

Рассмотрим задачу синтеза системы управления положением спутника из раздела 3.1 Модель объекта, согласно (3-5) имеет вид

а желаемое характеристическое уравнение записывается в форме (3-10)

Для нахождения матрицы К воспользуемся формулой Аккермана Сначала определим матрицу [В АВ] '

Тогда

Образуем матричный полином (3-24)

Затем применяем формулу Аккермана (3-23)

Таким образом, искомая матрица коэффициентов обратной связи имеет вид

что совпадает с выражением, полученным в разделе 3.1

Пример 3.2

На рис 3.4 приведена схема практической реализации системы управления спутником Предположим, что по условиям синтеза необходимо получить критически демпфированную систему (см раздел 4 2) с временем установления 1 с, т е 4т = 1 с Следовательно, требуемая постоянная времени т = 0,25 с, и два полюса должны быть расположены в точке s = — 4, т е К\ = Х2= 4 Запишем тогда желаемое характеристическое уравнение

На основании примера 3.1 требуемые коэффициенты обратной связи равны

На рис 3.5 изображен граф замкнутой системы, по которому можно определить соответствующую передаточную функцию

На рис 3.6 приведена реакция системы на начальные условия хг(0) = [1 0], соответствующая £ = 1 График ясно указывает на то, что система является критически демпфированной Теперь предположим, что мы хотим сохранить прежнюю постоянную времени т = 0,25 с, но желаем иметь С, = 0,707 Это значит, что корни характеристического уравнения (полюсы замкнутой системы) должны быть равны s = -4 ± j4, и

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

Реакция этой системы на те же начальные условия также изображена на рис. 3.6. Обратите внимание на различие двух реакций. Хотя полюсам двух систем соответствует одна и та же постоянная времени, реакция при £, = 0,707 затухает гораздо быстрее и имеет очень малое перерегулирование. Этим объясняется популярность выбора значения С, = 0,707 для доминирующих полюсов системы. Ниже приводится программа MATLAB, с помощью которой выполняется синтез и вычисляется реакция системы на начальные условия в случае С = 0,707.

В этой программе Рр — вектор-строка желаемого расположения полюсов системы управления, а инструкция acker вычисляет вектор коэффициентов К Две последние инструкции вычисляют реакцию системы на начальные условия.

Из последнего примера, казалось бы, следует, что мы можем выбрать вещественную часть корней сколь угодно большой, чтобы повысить быстродействие системы. В модели системы мы действительно можем это сделать. Однако для того, чтобы уменьшить постоянную времени системы, необходимо увеличивать коэффициент обратной связи. И это не случайно, т.к. чтобы увеличить скорость реакции объекта, на его вход должен поступать большой сигнал. А если возрастают амплитуды сигналов в системе, то велика вероятность того, что она перейдет в нелинейный режим работы; при очень больших сигналах практически любая реальная система будет работать как нелинейная. Следовательно, линейная модель, которая использовалась при синтезе, больше не будет точно отображать поведение реальной системы и ее истинные характеристики. Тем не менее, математическая модель будет обладать всеми желаемыми свойствами, но с очень малой пользой для инженера.

Все сказанное выше можно непосредственно проиллюстрировать на примере со спутником. Чтобы увеличить быстроту реакции спутника, двигатели должны развивать большой момент. Однако в действительности они обладают ограниченным моментом. Если в системе управления требуется момент, превышающий максимально возможное значение, то двигатели будут работать в режиме ограничения (насыщения). Система при этом становится нелинейной.