Вопросы для самопроверки к главе 1

1. С какими критериями можно связывать оценки степеней риска?

2. Чем отличаются риски нечетких и вероятностных событий?

3. В чем экономический смысл минимаксного критерия риска?

4. Перечислите параметрические характеристики вероятностных рисков. Дайте многокритериальную трактовку рисков.

5. Приведите методы скаляризации двухпараметрических характеристик рисков. Объясните их смысл.

6. Объясните смысл диверсификации средств в разные активы. Проведите расчет диверсификации капитала на собственные и заемные средства.

7. Приведите формулу снижения риска для N независимых вкладов.

8. Изобразите уровневые функции полезности Неймана-Монгенштерна и на их основе дайте трактовку трех различных характеров отношения к риску.

9. Дайте определение эффективного или Парето-оптимального решения на примере ожидаемой эффективности и риска смеси.

10. Опишите пошаговую однокритериальную оптимизацию Т. Марковица. Отобразите эффективную траекторию множества допустимых решений. Отобразите графический способ нахождения Парето-оптимального решения.

11. Объясните смысл использования безрискового актива в пошаговой однокритериальной оптимизационной задаче диверсификации.

Глава 2. Управление рисками при инвестировании

и статистическая теория принятия

управленческих решений

2.1. Управление рисками при инвестировании.

При инвестировании (см. стр. 11, модуль 2, глава 1) наиболее простым и вследствие этого наиболее применяемым на практике является метод управления рисками за счет корректировки нормы дисконта с учетом риска (Risk Adjusted Discount Rate Approach – RAD). Корректировка осуществляется путем прибавления к базовой норме дисконта (например, ставке доходности по ценным государственным бумагам, предельной или средней стоимости капитала предприятия) величины требуемой премии за риск, после чего производится расчет критериев NPV, IRR, PI эффективности инвестирования. В общем случае чем больше риск, связанный с проектом, тем выше должна быть величина премии, определяемой, например, пропорционально риску-отклонению . Данный метод имеет существенный недостаток, связанный с неучетом степени снижения риска к концу реализации проекта. В результате могут быть отклонены прибыльные проекты.

Метод достоверных эквивалентов использует корректировку ожидаемых значений CF_t потока платежей, вводя понижающие коэффициенты a_t < 1 (потоки платежей обозначают как a_t CF_t ). После этого рассчитывают критерии NPV, IRR, PI.

Анализ чувствительности критериев эффективности связан с выполнением следующих шагов.

1. Задается взаимосвязь между исходными и результирующими показателями в виде уравнений или неравенств.

2. Определяются наиболее вероятные значения исходных показателей и возможные диапазоны их изменений.

3. Путем изменения значений исходных показателей исследуют их влияние на конечный результат.

На практике обычно изменяют какой-нибудь один исходный показатель, считая другие постоянными.

Пример 2.1.1. Ниже приведена типовая таблиц 2.1.1 для анализа чувствительности NPV.

Таблица 2.1.1

Показатели	Диапазон изменений	Наиболее вероятные значения
Объем выпуска, Q	150 - 300	200
Цена за штуку, P	35 - 55	50
Переменные затраты, EV	25 - 40	30
Постоянные затраты, EC	500	500
Амортизация, A	100	100
Налог на прибыль, TAX	60 %	60 %
Норма дисконта, r	8 % - 15 %	10 %
Срок проекта, T	5 - 7	5
Остаточная стоимость, S	200	200
Начальные инвестиции, I0	2000	2000

Зададим зависимость соотношением

NPV = .

(2.1.1)

Автоматизация анализ чувствительности критериев эффективности будет рассмотрена в специальном модуле, посвященном использованию «Excel».

Метод сценариев включает следующие шаги.

1. Определяют несколько вариантов изменений ключевых исходных показателей (например, наихудший, наилучший, наиболее вероятный).

2. Каждому варианту приписывают его априорную вероятностную оценку.

3. Для каждого варианта рассчитывают вероятное значение критериев NPV (IRR, PI), а также оценки отклонений от средних значений.

4. Проводят анализ вероятностных распределений полученных результатов.

Проект с наименьшим стандартным отклонением  считается менее рискованным.

Пример 2.1.2. Ниже приведена типовая таблиц 2.1.2 для реализации метода сценариев.

Таблица 2.1.2

Показатели	Сценарии
	Наихудший Pr = 0,25	Наилучший Pr = 0,25	Вероятный Pr = 0,5
Объем выпуска,Q	150	300	200
Цена за штуку, P	40	55	50
Переменные затраты, EV	35	25	30
Норма дисконта, r	15 %	8 %	10 %
Срок проекта, T	7	5	5

Автоматизация метода сценариев будет рассмотрена в в специальном модуле, посвященном использованию «Excel».

Анализ вероятностных распределений потоков платежей основан на вычислениях ожидаемых значений величин потоков платежей и их стандартных отклонениях при заданных вариантах реализаций элементов CF_kt потоков и их вероятностях Pr_kt (k = 1, 2, … K) в каждый момент времени t. При этом рассматривают следующие случаи. Независимые потоки платежей характеризуются отсутствием корреляций между их элементами

M(CF_t) =,NPV =, (2.1.2)

,  ²(NPV) =

Сильно зависимые (идеально коррелированные) потоки платежей характеризуются наличием линейной связи между их элементами

M(CF_t) = ,NPV = , (2.1.3)

 (NPV) = .

Автоматизация анализа вероятностных распределений потоков платежей будет рассмотрена в специальном модуле, посвященном использованию «Excel».

2. Имитационное моделирование

инвестиционных рисков.

Под имитационным моделированием понимают проведение натурных (реальных) или программных (с помощью ЭВМ) экспериментов на некоторых моделях (натурных и программных соответственно) ЭО. В связи со сложностью и высокой стоимостью, а также необратимостью реальных экономических процессов программное имитационное моделирование приобрело ведущее значение. Особое место здесь занимают, так называемые, стохастические модели ЭО, случайные параметры которых не поддаются управлению и описываются вероятностными распределениями. Стохастическую имитацию часто называются методом Монте-Карло (по аналогии с имитацией игры в рулетку в соответствующем казино – генерированием последовательности случайных чисел).

Программный имитационный эксперимент разбивают на следующие этапы.

1. Устанавливают взаимосвязь между исходными и выходными показателями в виде математических моделей – уравнений, неравенств.

2. Задают законы распределений вероятностей для ключевых параметров моделей.

3. Проводят компьютерную имитацию значений ключевых параметров моделей.

4. Рассчитывают основные характеристики распределений исходных и выходных показателей.

5. Проводят анализ полученных результатов и принимают решение.

Пример 2.2.1. В таблице 2.2.1а заданы три нормально распределенных ключевых параметра инвестиционного проекта и определены возможные границы их изменений. Прочие параметры проекта считаются постоянными величинами (табл. 2.2.1б).

Для упрощения положим, что генерируемый проектом чистый поток платежей NCF_t имеет вид аннуитета. Тогда элементы чистого потока платежей для любого периода t одинаковы и определяются из соотношения

NCF = [Q(P – EV) – EC – A](1 – TAX) + A.

Таблица 2.2.1а

Показатели	Сценарии
	Наихудший, Pr = 0,25	Вероятный, Pr = 0,5	Наилучший, Pr = 0,25
Объем выпуска, Q	150	200	300
Цена за штуку, P	40	50	55
Переменные затраты, EV	35	30	25

Таблица 2.2.1б

Показатели	Наиболее вероятные значения
Постоянные затраты, EC	500
Амортизация, A	100
Налог на прибыль, TAX	60 %
Норма дисконта, r	10 %
Срок проекта, T	5
Начальные инвестиции, I0	2000

Автоматизация имитационного моделирования для данного примера с учетом равномерного распределения вероятностей ключевых переменных будет рассмотрена в специальном модуле, посвященном использованию «Excel».

Метод деревьев решений обычно используют для анализов рисков проектов, имеющих относительно небольшое число вариантов развития. Метод особенно полезен, когда решения, принимаемые в данный момент времени, сильно зависят от решений, принятых ранее, и определяют сценарий дальнейшего развития событий. Дерево решений имеет вид нагруженного графа, с соответствующими вершинами и дугами (ветвями дерева).

Использование метода предполагает выполнение следующих шагов.

1. Для каждого момента времени t определяют проблему и все возможные варианты дальнейших событий.

2. Отмечают на графе соответствующую проблеме вершину и исходящие из нее дуги – возможные решения, соответствующие вершине.

3. Каждой исходящей дуге приписывают ее денежную и вероятностную оценки.

4. Исходя из значений всех вершин и дуг, рассчитывают вероятное значение критерия NPV (либо IRR, PI).

5. Проводят анализ вероятностных распределений полученных результатов.

Пример 2.2.2. Рассматривается двухлетний проект, требующий первоначальных инвестиций в объеме I₀ = 200000 ден.ед. Согласно экспертным оценкам приток средств от реализации проекта в первом году с вероятностью Pr₁ = 0,3 составит CF₁ = 80000; с вероятностью Pr₁ = 0,4 – CF₁ = 110000; с вероятностью Pr₁ = 0,3 – CF₁ = 150 000. Притоки средств во втором периоде зависят от результатов первого (табл. 2.2.2а). Норма дисконта r =12%. Необходимо построить дерево решений.

Таблица 2.2.2а

CF1 = 80000 Pr1 = 0,3		CF1 = 110000 Pr1 = 0,4		CF1 = 150000 Pr1 = 0,5
CF2k	Pr2k	CF2k	Pr2k	CF2k	Pr2k
40 000	0,2	130 000	0,3	160 000	0,1
100 000	0,6	150 000	0,4	200 000	0,8
150000	0,2	160 000	0,3	240 000	0,1

Соответствующие табл. 2.2.2а расчеты приведены в таблице 2.2.2б, а дерево решений показано на рис. 2.2.1.

Таблица 2.2.2б

Путь	CF1k	CF2k	NPVk	Pr12k	Pr12k*NPVk
1	80 000	40 000	-96680	0,06	-5800,80
2	80 000	100 000	-48860	0,18	-8794,80
3	80 000	150 000	-9010	0,06	-540,60
4	110 000	130 000	1840	0,12	220,80
5	110 000	150 000	17780	0,16	2844,80
6	110 000	160 000	25750	0,12	3090,00
7	150 000	160 000	61470	0,03	1844,10
8	150 000	200 000	93350	0,24	22404,00
9	150 000	240 000	125230	0,08	3756,90
M(NPV)					19024,40

ЗначенияPr_12k рассчитывались в предположении независи­мости поступлений платежей в первый и второй годы, как совместные вероятности двух независимых событий Pr₁₂ =Pr₁*Pr₂. Ожидаемая итоговая чистая стоимость проекта рассчитывалась как M(NPV)=_kPr_12k*NPV_k.

Рис. 2.2.1

Поскольку чистая итоговая стоимость проекта положительна, то его следует принять.

При анализе рисков нескольких проектов методом деревьев решений предпочтение отдают проектам с большей ожидаемой NPV.

3. Статистическая теория принятия управленческих

решений в условиях рисков.

Пусть _ ={₁, ₂, … _M} – конечное множество состояний ЭО, например, _m соответствует состоянию, когда доходности неких N проектов (банков, активов) ранжированы определенным «m-ым» образом. Пусть С_ ={С₁, С₂, … С_K} – множество действий или управленческих решений, например, С_k – вложить деньги в банки (активы), распределив их в пропорциях _1k, _2k, … _{N k}. Пусть L_km = L(С_k_m) – условные риски (потери), связанные с принятием решения С_k при состоянии ЭО _m. Пусть P_ = = [P₁, P₂, … P_N] – совокупность измеримых векторов признаков (структурных параметров, критериев динамического состояния) ЭО, например, P_n = (r_n, IRR_n, NPV_n, …). Обозначим Pr(P^*_m) – условную вероятность события P_ = P^* в _m-ом состоянии ЭО; pr_m = pr(_m) – априорную (до измерения P_) вероятность _m-ого состояния ЭО. Тогда, на основании полной формулы Байеса (см. 2.2.4, модуль 1, глава 2), возможно определить апостериорную (после измерения P_) вероятность того, что при наблюдении P^* ЭО находится в состоянии _m

Pr(_mP^*) =, (2.3.1)

где _km = Pr(P^*_k) /Pr(P^*_m) – отношение правдоподобий гипотез.

Ожидаемые потери или условный риск принятия решения С_k при наблюдении состояния P^* ЭО

L(С_kP^*) = .

(2.3.2)

Всякий раз, когда наблюдаются векторы признаков P^* ЭО условный риск (2.3.2) можно свести к минимуму, принимая правильное решение С^*_k. Если минимум (2.3.2) достигается более чем для одного решения, то безразлично, которое из них принимать.

Пример 2.3.1 _ = {₁, ₂}, ₁ – выгоднее банк 1, ₂ – выгоднее банк 2; С ={С₁,С₂},С₁ – приоритет в диверсификации средств банку 1, С₂ – приоритет в диверсификации средств банку 2; L₁₁ = L(С₁₁), L₁₂ = L(С₁₂), L₂₁ = L(С₂₁), L₂₂ = = L(С₂₂); pr₁ = pr(₁), pr₂ = pr(₂).

Для некоторого наблюдаемого вектора признаков P^* банков из (2.3.2) получим

L(С₁P^*) = L₁₁ Pr(₁P^*) + L₁₂ Pr(₂P^*), (2.3.3)

L(С₂P^*) = L₂₁ Pr(₁P^*) + L₂₂ Pr(₂P^*).

Следует принимать управленческое решение С₁, если L(С₁P^*) < L(С₂P^*). Отсюда, воспользовавшись (2.3.3), получим

(L₂₁ – L₁₁) Pr(₁P^*) > (L₁₂ – L₂₂) Pr(₂P^*). (2.3.4)

На основании (2.3.1) и (2.3.4) следует, что выгоднее решение С₁, если

₁₂ = Pr(P^*₁) / Pr(P^*₂) > =^*₁₂. (2.3.5)

Принятие решений с минимальным уровнем ошибки. Пусть С_k решение, согласующееся с состоянием _k (выбор «к-го» банка при его предпочтительности). Примем постоянную функцию риска L

L_km = L(С_k_m) = . (2.3.6)

Тогда из (2.3.2) следует

L(С_kP^*) == L* [1 – Pr(_kP^*)]. (2.3.7)

Отсюда следует, что необходимо принять решение С_k (отдать приоритет в диверсификации средств банку «k»), если Pr(_kP^*) > Pr(_mP^*) для m  k, или (с учетом 2.3.2)

_km = Pr(P^*_k) / Pr(P^*_m) > pr_m / pr_k = ^*_mk. (2.3.8)

Полученное правило с точностью до пороговой величины ^* согласуется с (2.3.5). Таким образом, решение принимается на основании сравнения отношения правдоподобий _km (предпочтительности «k-го» состояния ЭО по отношению к «m-му») с некоторым пороговым значением ^*_mk. В общем случае (2.3.5) данные пороговые значения зависят как от априорных вероятностей pr_m, pr_k (состояний ЭО), так и рисков L_km.

При условно-оптимальном управлении обычно рассматривают вероятности Pr(P_m) = Pr_m(P) скалярных значений P, принимаемых случайной величиной, характеризующей какую либо одну компоненту вектора P признаков ЭО. При этом оценивают наиболее простые, параметрически определяемые характеристики рисков (или статистики) и на их основе принимают управленческие решения (см. раздел 1.1 главы 1 данного модуля).