Глава I. Перечислительная комбинаторика.

1. Перестановки, размещения, сочетания и разбиения.

A1

Перечислительная комбинаторика отвечает на вопрос “сколько?” и занимается подсчетом числа объектов, построенных по определенным правилам из заданного конечного множества элементов. Простейшими комбинаторными объектами являются перестановки, размещения и сочетания, к рассмотрению которых мы и приступаем.

Перестановки. Пусть задано конечное множество из , элементов, которые будем называть символами. Перестановкой на символах называется последовательностьсимволов, выписанных в определенном порядке. Таким образом, число перестановок насимволах, обозначаемое, это число способов введения линейного порядка на множестве из элементов. Вот 6 возможных упорядочиваний множества из 3 символов:

Можно сказать также, что – это число способов расставитьчеловек в очередь. На первое место можно поставить любого из, на второе – любого из оставшихсяи т.д. пока не дойдем до-го места, на которое останется единственный представитель. Поэтому

.

Здесь введена важнейшая для комбинаторного анализа функция ! (читается “эн-факториал”), определяемая для натуральныхкак произведение всех натуральных чисел от 1 довключительно и, по определению, равная 1 при=0:

При больших для оценки факториалов полезна асимптотическая формула Стирлинга

, .

(Символ “” означает, что отношение левой и правой частей формулы стремится к единице с ростом )

Размещения. Пусть теперь из элементов требуется выбратьэлементови линейно их упорядочить. Обозначая число таких упорядоченных выборок черези рассуждая как и прежде, получаем

.

Число называют также числом размещений изпо, так какэлементов изразмещаются намест отдо. Вот множество упорядоченных выборок длиныиз-элементного множества:, мощность которого в соответствии с выведенной формулой равна.

Сочетания. Пусть, наконец, из – элементного множества просто выбирается его– элементное подмножество без упорядочивания. Число– элементных подмножеств– элементного множества является весьма важным не только для комбинаторики, но и для всей математики. Оно обозначается через(читается, «це» изпо) и называется в комбинаторике числом сочетаний изпо. В других разделах математики по станущим понятными из дальнейшего причинам их обычно называют биномиальными коэффициентами. *

Для нахождения заметим, что упорядоченную выборку можно рассматривать как получаемую в два этапа: сначала из- элементов выбирается неупорядоченное– элементное подмножество, что можно сделатьспособами, а затем выбранное– элементное подмножество линейно упорядочивается, что можно сделатьспособами. Это приводит к соотношению:

,

откуда получаем

.

* В научной литературе для используется также обозначение.

Запомним, что , еслиили. Заметим также, что, как сразу следует из формулы,и.

` Пусть имеется -элементное множество. Вот все его двухэлементные подмножества:, число которых в соответствии с формулой равно.

Проиллюстрируем введенные комбинаторные числа простейшими примерами.

Указать в спортивном тотализаторе 3 первые команды из 12 команд высшей лиги с указанием занятых ими мест можно способами.

Если студенческая группа в составе 20 человек должна делегатировать трех человек для участия в конференции, то это можно сделать способами.

Если футбольный матч закончился вничью и его судьба решается в серии послематчевых пенальти, то у тренера возможностей представить судье список 5 пенальтистов из 11 закончивших матч футболистов, т.к. порядок выполнения футболистами пенальти имеет значение.

Правило произведения. При нахождении чисел ,, постоянно использовалось “правило произведения”, гласящее, что если выбор производится в несколько этапов, причем на первом он осуществляется из возможностей, на втором – изи т.д., то полное число различных вариантов равно–произведению количеств возможностей на каждом этапе.

Если тренер футбольной команды, желает одновременно заменить 3 из 10 полевых игроков, имея 5 футболистов на скамейке запасных, он может это сделать согласно правилу произведения

способами,

на первом этапе выбирая трех покидающих поле футболистов, а на втором – трех футболистов, выходящих на замену.

Не будет преувеличением сказать, что правило произведения является основным приемом элементарной комбинаторики. Его можно наглядно представить с помощью дерева выбора возможностей:

При его применении нужно лишь следить за тем, чтобы при ветвлении в каждой вершине происходило разбиение множества вариантов на непересекающиеся подмножества. Этим гарантируется, что окончательные варианты, получаемые на концах ветвей дерева, будут различными при движении по различным ветвям. Поясним это на примере. Пусть с помощью правила произведения хотят найти число двухэлементных подмножеств - элементного множества, считая, что на первом этапе формирования подмножества выбирается один элемент, а на втором – другой. Тогда на первом этапе выбор производится извозможностей, а на втором – из. Поэтому в соответствии с правилом произведения получилось бы, что число двухэлементных подмножеств равно(-1), что неверно, т.к. это число равно. Ошибка объясняется тем, что при таком порождении двухэлементных подмножеств каждое подмножество возникает дважды: при одном порядке включения входящих в него элементов и при другом. И здесь с помощью правила произведения на самом деле находится число упорядоченных двухэлементных выборок.

Мощность прямого произведения двух конечных множеств в соответствии с правилом произведения равна произведению их мощностей:

|AB| = |A||B|.

Последовательности символов. Множество двоичных последовательностей длины можно рассматривать как–-ую декартову степень множества. Поэтому таких последовательностей. Их можно считать характеристическими векторами подмножеств-элементного множества. Следовательно, полное число подмножеств-элементного множества также равно.

Число различных последовательностей длины , состоящих изсимволовбез ограничений на число использований каждого символа равно, т.к. на каждое место можно независимо ставить любой изсимволов. В частности, число целых неотрицательных не более чем-значных десятичных чисел равно.

Пусть теперь задано, что символ встречаетсяраз, символ раз, т.д., символ раз. Чему равно число последовательностей изсимволов с заданным числомвключения каждого символа?

Снова руководствуясь правилом произведения, можно поступить следующим образом. На первом этапе из возможных мест выбираеммест для символа, для чего естьвозможностей. На втором этапе изоставшихся свободными мест выбираеммест для символа, что осуществимоспособами. На третьем измест выбираеммест для символаи т.д. В итоге получаем, что искомое число последовательностей равно

.

К решению этой задачи возможен, однако, и другой подход. Возьмем символов,символов, … ,символов, всегосимволов, и занумеруем их числами отдо. Тогда каждой перестановке из чисел отдобудет соответствовать последовательность, включающаяраз символ,раз символи т.д. Однако перестановки внутри множеств, соответствующих одинаковым символам, приводят к той же самой последовательности. Таких перестановок. Отсюда получаем, что число последовательностей равно. В частности, число двоичных последовательностей длинысединицами равно. Оно совпало с числом– элементных подмножеств– элементного множества, т.к. двоичные последовательности можно рассматривать как характеристические векторы таких подмножеств.

Сочетания с повторениями. Пусть теперь имеется различных типов элементов, причем элементы одинакового типа считаются неразличимыми, а запас элементов каждого типа неограничен. Требуется составить-элементное множество, используятипов элементов, причем элементов каждого типа может включаться в множество любое число от 0 до. Число таких множеств называется числом сочетаний с повторениями изпои обозначается. Здесь возможен случай и .

Сочетание с повторениями называют также мультимножеством. Мультимножество на типах элементов может быть задано вектором кратностей типов:, где число элементов i-го типа в мультимножестве. Мощность мультимножества равна сумме кратностей типов: . В терминах мультимножества есть число мультимножеств мощности, построенных натипах элементов.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу. В магазине имеется 4 сорта роз: красные, желтые, оранжевые, белые. Сколькими способами может быть куплено 5 роз? (Другая интерпретация: сколькими способами могут быть куплены в почтовом киоске 5 открыток, если в нем имеются открытки 4 типов). В наших обозначениях это число равно .

В качестве другого примера рассмотрим целочисленные неотрицательные решения уравнения

.

Связывая с каждой переменной тип элемента, а с её значением – число элементов данного типа, получаем, что число искомых решений равно .

Для того чтобы найти число , рассмотрим последовательности длиныиз двух символов «*» и «׀», у которых число звездочек равно , а число черточек –. С каждой такой последовательностью можно связать сочетание с повторениями, ставя в каждом изпромежутков между черточками вместо звездочек символы типа, соответствующего номеру промежутка. Этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между-элементными множествами изтипов элементов и последовательностями из двух символов. Так в примере с розами покупке двух красных, одной желтой, ни одной оранжевой и двух белых роз соответствует последовательность. Поэтому

.

Разбиения. Пусть теперь - элементное множество разбивается нанепересекающихся непустых подмножеств. Причемподмножеств имеют мощность,подмножеств – мощностьи т.д., наконец,подмножеств – мощность_.Сколько существует таких разбиений?

С каждой перестановкой исходного - элементного множества можно связать разбиение на подмножества заданной мощности, если в перестановке отсчитывать слева направораз поэлементов,раз поэлементов и т.д. При этом перестановка элементов внутри каждого подмножества, а также перестановка целиком подмножеств одинаковой мощности между собой не меняют разбиения. Поэтому число разбиений равно

.

Число разбиений 4-элементного множества на два 2-элементных в соответствии с этой формулой равно . Вот все возможные разбиения множествана два 2-элементных подмножества:.

Вопросы для самопроверки.

1. Сколькими способами может быть выбрано 5 номеров из 36?

а) ; б); в).

2. Пусть имеется n языков. Сколько нужно издать словарей, чтобы был возможен перевод с любого языка на любой?

а) ; б); в).

3. У мамы 5 яблок, 7 груш и 3 апельсина. Каждый день, в течение 15 дней, она выдает сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано? а) ; б); в).

4. В распоряжении имеются яблоки, груши и апельсины. Сколькими способами может быть составлен подарочный набор из 5 фруктов?

а) ; б); в).

5. Сколькими способами можно разделить яблоко, грушу, апельсин, сливу, лимон и айву между тремя мальчиками так, чтобы каждому досталось по 2 фрукта? а) ; б); в).

6. Пусть в турнире участвуют команд. Сколькими способами может быть проведен первый круг, т.е. сколькими способами команды могут быть разбиты на пары?

a) ; б); в).