Министерство образования и науки рф
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Московский государственный университет технологий и управления имени К.Г. Разумовского»
Филиал ФГБОУ ВПО «МГУТУ имени К.Г. Разумовского» в г. Мелеузе (Республика Башкортостан)
Введение
в дискретную математику
Учебное пособие для бакалавриата заочной формы обучения по квалификациям
220700.62 по направлению Автоматизация технологических процессов
2012
Содержание
Введение
Глава I. Перечислительная комбинаторика
Перестановки, размещения, сочетания и разбиения
Формула бинома и полиномиальная формула
Приложения к теории вероятностей Производящие функции и рекуррентные соотношения
Перечисление классов эквивалентности. Лемма Бернсайда и
теорема Пойа
Глава II.Графы и алгоритмы 2.1. Основные понятия теории графов 2.2. Алгоритмы в дискретной математике
2.3. Минимальное остовное дерево 2.4. Кратчайший путь между двумя вершинами 2.5. Задача коммивояжера. Метод «ветвей и границ» 2.6. Паросочетания в двудольных графах 2.7. Потоки в сетях
Глава III. Кодирование 3.1. Основные задачи теории кодирования 3.2. Помехоустойчивое кодирование 3.3. Криптография Итоговый тест Рекомендуемая литература Словарь основных терминов Ответы к тестам
Предисловие.
Бурно развивавшаяся на протяжении XX века дискретная математика заняла в последнее десятилетие важное место в общем курсе математической подготовки студентов университетов и технических вузов. Владение её элементами стало обязательной составной частью математического образования инженеров, экономистов, специалистов по вычислительной технике. Причина возросшего спроса на дискретную математику объясняется проникновением математических методов во все новые сферы человеческой деятельности и стремительным развитием вычислительной техники, расширившем возможности работы с дискретными структурами, что привело к качественным изменениям в математических методах решения прикладных задач в целом ряде областей.
Задачи дискретной математики, которыми занимался в ХVIII гениальный Леонард Эйлер, в течение двухсот лет оставались единичными примерами, носившими характер развлекательных головоломок, которые привлекли к себе внимание благодаря, в первую очередь, имени великого математика. В ХIХ веке Кирхгоф, строя теорию электрических цепей, фактически работал с графами, но тогда это понятие оказалось еще недостаточно востребованным, чтобы выделить его из приложения. Даже книга Кёнига, вышедшая в Германии в 1936 году и впервые осветившая теорию графов как самостоятельную дисциплину, была по достоинству оценена лишь двумя десятилетиями позже, после того, как в 1950 году вышло ее американское издание.
Если ХIХ век был триумфом непрерывной математики, описавшей уравнениями поведение материи и электромагнитного поля, рассматриваемых как непрерывные среды, то в ХХ веке идея дискретности стала все настойчивее пробивать себе дорогу. Физика, столкнувшись с квантовыми явлениями, стала изучать атомы и элементарные частицы, возникла квантовая теория. Биология перешла от дарвинской теории непрерывного развития видов к изучению генов и кодов наследственности. Вторая мировая война усилила интерес к быстрой обработке и анализу данных и стимулировала создание компьютеров, с появлением которых цифровое кодирование информации вытеснило запись ее на аналоговых носителях, таких как пластинки, магнитные ленты и фотокарточки, а криптография, возраст которой насчитывает не одну тысячу лет, пережила второе рождение. Из Золушки дискретная математика превратилась в блистательную принцессу.
Традиционный курс высшей математики, основу которого составляет дифференциальное и интегральное исчисление, всегда был рассчитан в первую очередь на инженеров-физиков. Сегодня он уже не может в полной мере удовлетворить потребность высшей школы в математических знаниях. Первой книгой, отражающей изменения в преподавании высшей математики, была переведенная на русский язык книга: Дж.Кемени, Дж.Снелл, Дж.Томпсон “Введение в конечную математику”. Написанная полвека назад, она и сейчас сохраняет определенную ценность и может быть использована в учебном процессе. К сожалению, она не оказала существенного влияния на преподавание математики в нашей стране.
Дискретная математика в определенной мере проще непрерывной. Её базовые понятия не требуют абстракции предельного перехода, а многие фундаментальные результаты могут быть наглядно продемонстрированы на элементарных примерах. Однако перекос в школьном образовании в сторону непрерывной математики привел к тому, что изучение дискретной математики вызывает значительную трудность у лиц, чьё математическое образование базируется исключительно на классическом математическом анализе.
Цельность математического анализа обеспечивается единым подходом к решению широкого круга задач, основанным на использовании производной и первообразной – понятий, существенно использующих свойства континуума. Принцип непрерывности и основанное на нем понятие предела, красной нитью проходящие через весь математический анализ, позволили создать удивительное по красоте и логической стройности здание, в основании которого лежит замена конечного приращения дифференциалом, а вершиной является теория аналитических функций. Хотя строгое логическое построение континуума и непросто, пространство и время дают достаточные для его интуитивного восприятия основы.
В дискретной математике, занимающейся изучением конечных и счетных множеств, подобного единства не достигнуто. Она распадается на множество разделов со своими собственными задачами и методами. В задачах дискретной математики мощь аналитических методов уступает место анализу многочисленных возможностей и вариантов. Ярким примером является задача о раскраске произвольной карты четырьмя цветами так, чтобы смежные страны не были раскрашены одним цветом. Доказательство возможности решения этой задачи, в настоящее время формулируемой обычно как раскраска планарного графа, потребовало столь огромного перебора вариантов, что осуществить его оказалось возможным лишь с помощью компьютера. Хотя этот пример до сих пор уникален, не исключено, что некоторые нерешенные до сих пор задачи дискретной математики также могут потребовать перебора, осуществимого лишь с помощью компьютера. В тоже время в ряде других задач дискретной математики аналитические методы эффективно используются, хотя в еще большей степени используется аппарат современной алгебры, позволяющий вводить на рассматриваемых множествах полезные структуры. Математическая индукция также является часто используемым приемом.
Тематика общего курса дискретной математики для вузов в настоящее время продолжает находиться в стадии формирования. При определенной широте трактовки в него включают элементы математической логики и теории чисел. В настоящем пособии представлено ядро сложившегося к настоящему времени курса дискретной математики, рассматриваются её важнейшие теоретические и прикладные вопросы. Цель курса – дать общее представление о задачах и методах дискретной математики, познакомить с основными структурами и алгоритмами, показать их прикладное значение, а также привить навыки самостоятельной работы. Рассматриваются задачи перечисления, булевы функции, графы и алгоритмы на графах, а также задачи кодирования: сжатие информации, помехоустойчивое кодирование и криптография.
Предполагается, что лица, приступающие к изучению данного курса, уже знакомы с такими основными понятиями алгебры как группы, кольца, поля и линейные пространства. Примеры этих алгебраических структур неоднократно встречаются на протяжении курса. Необходимые для понимания современной криптографии сведения из теории чисел сообщаются по ходу изложения. Изучение рассмотренных в курсе алгоритмов на графах целесообразно закрепить самостоятельным составлением соответствующих программ для компьютера на языках высокого уровня.