ответы на теорию по математике / билет 11 отдельно

Геометрические и физические приложения определённого интеграла

а) Вычисление площадей плоских фигур

Если фигура ограничена сверху графиком функции y = f(x), снизу графиком

у = φ(х), а слева и справа прямыми х = а и х = b, то ее площадь находится по

х = 3.

РЕШЕНИЕ

Эта фигура снизу ограничена кубической параболой, сверху – параболой, справа прямой х = 3. Левой границей, а следовательно и нижним пределом интеграла, является точка пересечения парабол О(0;0). Следовательно, площадь этой фигуры:

б) Вычисление длин дуг кривых

Пусть плоская кривая АВ задана уравнением y = f(x). Функция f(x) непрерывна вместе с f /(x) на отрезке [а, b] таком, что f(а) = А и f(b) = В. Тогда длина L дуги АВ вычисляется по формуле:

В числителе дроби прибавим и вычтем единицу, тогда

в) Вычисление площадей поверхностей вращения

b

S 2f (x)1 [ f (x)]2 dx .

a

ПРИМЕР

Вычислить площадь поверхности параболоида вращения, образованного вращением параболы у 2 = х вокруг оси Ох, 0 ≤ х ≤ 5.

г) Вычисление объемов тел вращения

Пусть функция f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [а, b]. Тогда объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции,

b

ограниченной сверху графиком функции y = f(x), имеет объем V f 2 (x)dx .

a

ПРИМЕР

Вычислить объем параболоида вращения, образованного вращением параболы у 2 = 4х вокруг оси Ох, 0 ≤ х ≤ 5.

РЕШЕНИЕ

е) Задача о массе и центре тяжести неоднородного стержня

Стержень расположен на отрезке [а, b] оси Ox . Стержень неоднородный. Его линейная плотность – функция (x) . Масса стержня вычисляется по формуле

b

m = (x)dx .

a