ответы на теорию по математике / двойные интегралы 15 вопрос

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет технологий и управления им. К.Г. Разумовского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

осью ОХ угол arctg

. Область опять удобно

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.04.2015

Размер:

343.94 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана.

Соболев С.К.

Двойные интегралы.

Методические указания к решению задач

Москва МГТУ им. Баумана

2008

С.К. Соболев. Двойные интегралы

Предисловие

Обычный определенный интеграл от функции одной переменной хорошо знаком студентам первого курса и имеет многочисленные приложения в различных отраслях знаний. Однако, существует иного задач в геометрии, физике, экономике, для которых недостаточно обычного определенного интеграла – интеграла по одномерному координатному отрезку. Таковы, например, задачи о вычислении площади поверхности (не являющейся поверхностью вращения), объема тела в общем случае, массы пластинки или тела переменной плотности. Для решения этих задач нужно уметь интегрировать по плоской или даже пространственной области. Такие интегралы называются двойными и тройными соответственно.

В данном пособии приводятся все необходимые теоретические сведения о двойных интегралах, подробно рассказывается о методах вычисления двойных интегралах и их приложениях, разобраны иллюстрирующие примеры.

Пособие будет полезно студентам экономических и технических специальностей.

1.Понятие двойного интеграла

1.1. Определение и интерпретация двойного интеграла.

Пусть D – некоторая замкнутая(1) ограниченная(2) плоская область, т.е. множество D R 2 , содержащее свою границу и находящееся внутри некоторого квадрата или круга конечного размера, и пусть функция двух переменных f ( x, y) определена во всех точках области D. Диаметром множества D назовем наибольшее расстояние между его точками:

d (D) = max{ AB : A, B D}.

def

Представим область D в виде объединения конечного числа частей, не пересекающихся между собой или пересекающихся разве что лишь по общей границе (если она есть):

D = D1 D2 ... Dn = Di , и обозначим площадь i-ой части через Si = S (Di ) . Пусть

i =1

λ –	мелкость		полученного		разбиения:
λ = max d (Di ) .		Выберем в каждой части				Di по
1≤i ≤n
точке	M i ( xi , yi )		(см.	Рис. 1) и	составим
				n
интегральную		сумму.		∑ f ( xi , yi )	Si .	Если

i =1

существует конечный предел этих интегральных сумм при λ → 0 , не зависящий от способа разбиения области D и выбора точек M i , то этот предел называется двойным интегралом от

функции f ( x, y)	по области D, и обозначается:
	n
∫∫ f ( x, y)dxdy = lim ∑ f ( xi , yi ) Si
D	λ →0 i =1

Y D

D1
D2
D3
Di	Mi
yi	Mi
xi	X
Рис. 1

С.К. Соболев. Двойные интегралы

Экономическая интерпретация двойного интеграла.

Пусть D –область посевов некоторой сельскохозяйственные культуры, и пусть в каждой точке M ( x, y) D известна урожайность q( x, y) этой культуры (например, по

наблюдениям из космоса). Тогда величина Q = ∫∫ q( x, y)dxdy есть количество урожая,

которое можно собрать с области D при отсутствии потерь.

1. 2. Свойства двойных интегралов.

(а) Линейность. ∫∫(α f ( x, y) + β g ( x, y)) dxdy = α ∫∫ f ( x, y)dxdy + β ∫∫ g( x, y)dxdy ;

D D D

(Имеется в виду, что если существуют оба интеграла в правой части, то существует интеграл и в левой части).

(б) Аддитивность. Если область D есть объединение областей D1 и D2, пересекающихся только по своей общей границе (см. Рис. 2), то

∫∫	f ( x, y)dxdy = ∫∫	f ( x, y)dxdy + ∫∫ f ( x, y)dxdy ;	Y
D1 D2	D1	D2

(Аналогично, если существуют оба интеграла в правой
части, то существует интеграл и в левой части).				D2
(в) Интеграл от константы: Двойной интеграл от				D1
константы по области D равен произведению этой

константы на площадь области D:
∫∫C dxdy = C S (D) , если C = const ;			O	X
D
				Рис. 2
( S (D) – площадь области D).

(г) Переход к неравенству:
Если для всех точек M ( x, y) D верно неравенство
f ( x, y) ≤ g( x, y) , то
	∫∫ f ( x, y)dxdy ≤ ∫∫ g( x, y)dxdy ;
	D	D

(д) Теорема об оценке:

Если числа т1 и т2 таковы, что для всех точек M ( x, y) D верны неравенства

m1 ≤ f ( x, y) ≤ m2 , то

m1 S (D) ≤ ∫∫ f ( x, y)dxdy ≤ m2 S (D) ;

Определение. Средним значением функции f ( x, y) на множестве D называется число

ˆ	D def	S ( D ) ∫∫
f	=			f ( x, y)dxdy .

(ж) Теорема о среднем. Если множество D замкнуто(1), ограниченно(2) и связно(3), а

функция f ( x, y) непрерывна(4) на множестве D, то найдется точка M		0	( x ; y	0	) D такая,
что f	D = f ( M 0 ) , т.е. такая, что ∫∫ f ( x, y)dxdy = f (M 0 ) S (D) .	0	0	0
что f
ˆ
ˆ

С.К. Соболев. Двойные интегралы

2. Вычисление двойного интеграла

2.1. Повторный интеграл.

Повторным интегралом называется выражение вида

b		h( x )		b h( x )
∫		∫	f ( x, y)dy =	∫ ∫
	dx		f ( x, y)dy =		f ( x, y)dy dx ,
a		g ( x )		a g ( x )

Повторный интеграл вычисляется справа налево, т.е. сначала находится интеграл

h( x )

∫ f ( x, y)dy = F ( x) , в котором х является параметром, т.е. постоянной, а затем

g ( x )

вычисляется интеграл ∫F ( x)dx .

Аналогично вычисляется и повторный интеграл вида

d	ψ ( y )			d	ψ ( y )
∫		∫	f ( x, y)dx =	∫	∫
	dy		f ( x, y)dx =			f ( x, y)dx dy .
c		ϕ ( y )		c ϕ ( y )

2y +2

Пример 1. Вычислить повторный интеграл ∫dy ∫ ( y2 + 2x)dx .

Решение. Сначала находим внутренний, т.е. правый интеграл (в котором y = const ):

y +2

∫ ( y2 + 2 x)dx = ( y2 x + x2 ) x = y +2					= y 2 ( y + 2) + ( y + 2)2 − y2 − 1 = y3 + 3 y 2 + 4 y + 3 = F ( y).
1				x =1
1
	2	y +2			2	2
Следовательно, ∫dy ∫ ( y2 + 2x)dx = ∫F ( y)dy = ∫( y3 + 3y2 + 4 y + 3 )dy =
	0	1			0	0
= ( 1 y4	+ y3 + 2 y2	+ 3 y )	y =2	= 4 + 8 + 8 + 6 − 0 = 26.
= ( 1 y4	+ y3 + 2 y2	+ 3 y )	y =2	= 4 + 8 + 8 + 6 − 0 = 26.
4			y =0
			y =0
	2.2. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

(а) Пусть область D задается неравенствами (см. Рис. 3):

	a ≤ x ≤ b,		yнижн( x) ≤ y ≤ yверхн( x) ,					(1)
где функции yнижн( x) и		yверхн( x) непрерывны на отрезке					[a; b] , и функция f ( x, y)
непрерывна в области D.		Тогда двойной интеграл от функции f ( x, y)						по области D
Y	y = yверхн( x)			Y
Y
				d
	D			x = x		( y)	D	x = xправ( y)
	D				лев
					лев
	y = yнижн( x)			с
O	a	b	X	O				X
	Рис. 3			O				X
	Рис. 3

Рис. 4

С.К. Соболев. Двойные интегралы

вычисляется в виде повторного интеграла:

byверхн ( x )

∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫dx		∫ f ( x, y)dy	(2)
D	a	yнижн( x )
(б) Пусть область D задается неравенствами:
c ≤ y ≤ d ,	xлев( y) ≤ x ≤ xправ( y)		(3)

(см. Рис. 4). Тогда двойной интеграл по области D от функции f ( x, y) вычисляется в виде повторного интеграла:

dxправ( y )

∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫dy

∫

f ( x, y)dx .

(4)

c xлев( y )

Замечание 1. Если область D нельзя задать в виде неравенств (1) или (3), то её разбивают на

две или несколько частей D1, D2 , ... , каждую

из

которых

можно

задать

такими

ϕ = β

неравенствами. И тогда двойной интеграл по

области

есть

сумма

интегралов

по

r = Rвнешн(ϕ )

областям D1, D2 , ... .

Замечание 2. Если при вычислении двойного

интеграла в виде повторного по формуле (2)

переходят к вычислению в виде повторного

r = R

ϕ = α

внутр(ϕ )

по формуле (4) (или наоборот), то говорят,

что

двойном

интеграле

изменяется

порядок интегрирования.

Рис. 5

2.3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Пусть

полярных

координатах(5) область

D задается

неравенствами:

α ≤ ϕ ≤ β , Rвнутр(ϕ ) ≤ r ≤ Rвнешн(ϕ ) .

(см. Рис.

5), где функции

Rвнутр(ϕ )

Rвнешн(ϕ ) непрерывны на отрезке [α; β ] . Тогда

двойной

интеграл

по области

D от

функции f ( x, y)

вычисляется

в виде повторного

интеграла:

βRвнешн(ϕ )

∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫dϕ		∫	f (r cosϕ , r sin ϕ ) r dr
D	α	Rвнутр(ϕ )

Обращаем внимание на дополнительный множитель r во втором (правом) интеграле.

Это якобиан(6), который всегда появляется в двойном интеграле при переходе к другим координатам. В полярных координатах якобиан равен r.

Пример 2. В повторном интеграле:

13 x2

4− x2

∫ dx

∫

f ( x, y)dy + ∫ dx

∫

f ( x, y)dy

(5)

−

2 x − x

−

2 x − x

изменить порядок интегрирования и перейти в нем к полярным координатам.

Решение. Данный повторный интеграл (точнее, сумма двух повторных) представляет собой двойной интеграл от функции f ( x, y) по области D , являющейся объединением

С.К. Соболев. Двойные интегралы

2 x − x2

≤ y ≤ 1 x2

двух областей: области D , заданной неравенствами:

0 ≤ x ≤

3, −

2x − x2

4 − x2

и области D , заданной неравенствами:

3 ≤ x ≤ 2, −

≤ y ≤

(см. Рис. 6).

Нарисуем границы области D (см. Рис. 7):

(1)

y = 1 x2 3y = x2

(парабола),

y ≥ 0

(2)

y =

4 − x2 {

{

– верхняя часть окружности радиуса R = 2

= 4 − x

+ y

= 4

с центром в точке в начале координат;

{

y ≤ 0

{

y ≤ 02

(3)

y = −

2x − x2

+ y

= 1

– нижняя половина окружности

= 2x − x

( x − 1)

радиуса R = 1 с центром в точке A(1; 0 ) .

y = 1 x2

3y = x2

x2 + y 2 = 4

y = 4 − x2

–1

( x − 1)2 + y2 = 1

y = − 2x − x2

Рис. 6

Рис. 7

Теперь каждую границу этой области

зададим уравнением, в котором

переменная х будет выражена через у:

(а) 3y = x2 , x ≥ 0 x = 3y ;

x = 4 − y 2

x = 3y

(б) ( x − 1)2 + y2 = 1 x = 1 ± 1 − y2 ;

(в) x2 + y2 = 4, x > 0 x = 4 − y2 .

Левая граница области D составная:

она состоит из четверти окружности и

x = 1 −

1 − y2

дуги параболы, правая граница также

–1

x = 1 +

1 − y2

составная: состоит из двух дуг

Рис.8

окружностей. Поэтому область D

представим в виде объединения областей D3 и D4

(см. Рис. 8:

: −1 ≤

y ≤ 0,

: 0

≤

y ≤ 1,

1 − 1 − y 2 ≤ x ≤ 1 + 1 + y 2 ;

3 y ≤ x ≤ 4 − y 2 .

Изменим в двойном интеграле порядок интегрирования:

1+ 1+ y 2

4− y2

∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( x, y)dxdy + ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dy

∫ f ( x, y)dx + ∫dy

∫ f ( x, y)dx .

−1 1− 1− y 2

3 y

С.К. Соболев. Двойные интегралы

Теперь перейдем к полярным координатам. Выразим уравнения всех границ в полярных координатах:

(а) x2 + y2 = 4 r = 2;

(б) ( x − 1)2 + y2 = 1 x2 + y2 = 2 x r = 2 cosϕ ;

(в) 3 y = x2 3r sinϕ = r2 cos2 ϕ r = 3sinϕ . cos2 ϕ

Крайняя верхняя точка В области D имеет координаты B(1; 3) , поэтому луч ОВ образует с

представить в виде объединения тех же областей D3 и D4, которые в полярных координатах задаются неравенствами (см. Рис. 9):

		−	π	≤ ϕ ≤ 0,		0 ≤ ϕ ≤		π	,
D3		−		≤ ϕ ≤ 0,				6
D3	:		2		D4 :	3sin ϕ
			≤ r ≤ 2 cosϕ ;			3sin ϕ	≤ r ≤ 2.
							≤ r ≤ 2.
	0
					cos2 ϕ

Y		3sinϕ			π
	r =	3sinϕ		ϕ =	π
	r =	cos2 ϕ			6
		cos2 ϕ			6
1			B
1				r = 2
				r = 2
			D4
0					X
0					X

r = 2 cosϕ

Рис. 9

Следовательно, наш двойной интеграл в полярных координатах выглядит так:

∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( x, y)dxdy + ∫∫ f ( x, y)dxdy =

D		D3	D4
	2 cosϕ		π
0	2 cosϕ		6	2
= ∫ dϕ	∫ f (r cosϕ , r sinϕ ) r dr + ∫dϕ			∫	f (r cosϕ , r sinϕ ) r dr.		(6)
−π	0		0	3sinϕ
2				cos2 ϕ
Пример 3. Вычислить двойной интеграл						Y
∫∫ x y dxdy		по области					2
D					0			X
					0			X
D: x2 + y 2 ≤ 2x, y ≤ 0							D3
(а) в декартовых координатах;
(а) в декартовых координатах;					y = − 2x − x2			r = 2 cosϕ
(б) в полярных координатах.								r = 2 cosϕ
(б) в полярных координатах.
Решение. Неравенство							Рис. 10
x2 + y2 ≤ 2x ( x − 1)2 + y 2 ≤ 1 задает круг							Рис. 10
x2 + y2 ≤ 2x ( x − 1)2 + y 2 ≤ 1 задает круг

радиуса R = 1 с центром в точке A(1; 0 ) , поэтому данная область совпадает с областью D3 из примера 2 (см. Рис. 10), и в декартовых координатах вычисление двойного интеграла будет такое:

	2		0	2			0
	2		0	2
∫∫ x ydxdy = ∫dx			∫	x ydy = ∫dx x ( 12 y2 )					=
∫∫ x ydxdy = ∫dx			∫	x ydy = ∫dx x ( 12 y2 )					=
D	0			0			y =−	2 x − x2
		−	2 x − x2				y =−	2 x − x2
		−	2 x − x2
	2				8		2 .
= ∫( − x2 + 21 x3 )dx = − 13 x4 + 81 x4 = −					8	+ 2 = −	2 .
	0				3		3
	0

(б) Вспомним, что x = r cosϕ , y = r sinϕ , поэтому двойной интеграл в полярных координатах будет выглядеть так:

				С.К. Соболев. Двойные интегралы			8
	0		2 cosϕ			0	2 cosϕ
∫∫ x ydxdy = ∫ dϕ			∫	r cosϕ r sinϕ r dr = ∫ cosϕ sinϕ dϕ			∫ r3dr =
D	−π		0			−π	0
	2					2
	0				r =2 cosϕ	0
	0					0
= ∫ cosϕ sinϕ dϕ ( 14 r4 )						= 4 ∫ cos5 ϕ sinϕ dϕ = {t = cosϕ} =
	−π				r =0	−π
	−π					−π
	2					2
	1	1		2 .
= −4∫t 5dt = −4		1	= −	2 .
	0	6		3
	0

Замечание 3. Значение интеграла получилось отрицательное, т.к. подынтегральная функция f ( x, y) = xy отрицательна в области интегрирования.

Замечание 4. В данном примере вычисление двойного интеграла и в декартовых, и в полярных координатах довольно несложное. Однако часто вычисление двойного интеграла в декартовых координатах в виде повторного (в каком-то определенном порядке) весьма затруднительно, и вычисления значительно упрощаются при изменении порядка интегрировании или переходе к полярным координатам.

3.Приложения двойных интегралов.

3.2.Геометрические и физические приложения двойного интеграла

(а) Площадь плоской фигуры.

S (D) = ∫∫1 dxdy = ∫∫dxdy .

D D

(б) Масса плоской материальной пластинки.

Если плоская материальная пластинка D расположена в плоскости XOY и имеет переменную плотность µ( x, y) , то масса пластинки D вычисляется по формуле

m(D) = ∫∫µ( x, y)dxdy .

(в) Координаты центра масс(14) плоской материальной пластинки. Координаты центра масс C( x0 ; y0 ) плоской материальной пластинки D , имеющей переменную плотность

µ( x, y) , находятся по формулам:

x0	=		M x	,	y0 =	M y	, где
		m(D)				m(D)

M x = ∫∫ x µ( x, y) dxdy ,			M y		= ∫∫ y µ( x, y) dxdy ,			m(D) = ∫∫µ( x, y)dxdy ;
D					D			D

(г) Координаты центрóида(7) плоской геометрической фигуры. Центрóидом

(нематериальной!) геометрической фигуры D называется центр масс этой фигуры в предположении, что её плотность во всех точках одинакова и равна, например, единице. Тогда масса плоской фигуры равна её площади, и координаты центроида C( x0 ; y0 ) плоской фигуры D находятся по формулам:

x0 =	M	x	, y0 =	M y	, где M x	= ∫∫ x dxdy ,	M y = ∫∫ y dxdy , S (D) = ∫∫dxdy ;
	S (D)			S (D)

D D D

С.К. Соболев. Двойные интегралы

(д) Вторая формула Гульдина(13): Объем тела, полученного вращением вокруг некоторой оси плоской фигуры, расположенной в плоскости оси по одну сторону от неё, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описываемую при вращении центрóидом(7) этой фигуры, т.е.

V = S (D) 2π R0 ,

где S (D) – площадь фигуры D, R0 – расстояние от центроида этой фигуры до оси вращения.

(е) Площадь поверхности в пространстве.

Если поверхность σ задана уравнением z = f ( x, y) , где M ( x; y) D (см. Рис. 11), то площадь поверхности σ вычисляется по формуле:

	∫∫	x	y
S (σ ) =		1 + ( f ′( x, y))2	+ ( f ′ ( x, y))2 dxdy .
	D

(ж) Объем тела в пространстве.

Если тело Т проецируется на плоскость XOY в фигуру D и задано неравенствами

zнижн( x, y) ≤ z ≤ zверхн( x, y), M ( x; y) D , (см. Рис. 12), то объём тела Т вычисляется по

z = f ( x, y)

формуле:			Рис. 11
V (T ) = ∫∫(zверхн( x, y) − zнижн( x, y))dxdy .				X
				X
	D
		3.2. Примеры на приложения двойных интегралов
Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной одной петлей кривой
( x2 + y2 )2 = 2a2 xy ( x, y ≥ 0 ,			a = const > 0 ).	z = zверхн		( x, y)
			Z	z = zверхн		( x, y)
Решение. Перейдем к полярным координатам(5),
т.е применим формулы:			T
x = r cosϕ , y = r sinϕ , x2 + y 2 = r2 . Получим
r4 = 2a2r2 cosϕ sin ϕ r2 = a2 sin 2ϕ				Y
				Y
r = a sin 2ϕ . Это лемниската Бернулли. Найдем				z	= zнижн		( x, y)
площадь фигуры, ограниченной одной её петлей				z	= zнижн		( x, y)
площадь фигуры, ограниченной одной её петлей
(см. Рис. 13):			D

sin 2ϕ

2 a

r =a sin 2ϕ

S = ∫∫1 dxdy = ∫dϕ

∫ rdr = ∫dϕ (

r2 )

r =0

ϕ =

∫ a2 sin 2ϕ dϕ = −

a2 cos 2ϕ

2 =

ϕ =0

Этот пример показывает, что применение двойных интегралов к вычислению площадей не дает ничего нового по сравнению с определенным интегралом.

Рис. 12

	X

Y	r = a sin 2ϕ

0	Рис. 13	Х
	Рис. 13

С.К. Соболев. Двойные интегралы

Пример 5. Найти координаты центра масс плоской пластинки D, заданной неравенствами 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3 − x2 + 2x , имеющей плотность = x .

Решение. Область D ограничена осями координат и дугой параболы y = − x2 + 2 x + 3 (см. Рис. 14). Сначала найдем массу этой пластинки:

		3	3+2 x − x	2	Y
		3	3+2 x − x
m(D) = ∫∫ dxdy = ∫∫ x dxdy = ∫dx			∫ x dy =		y = − x2 + 2 x + 3
D	D	0	0		3
3	y =3+2 x − x2	3
3	y =3+2 x − x2	3
= ∫dx x y	= ∫(3x + 2 x2 − x3 )dx =				D
0	y =0	0			D
0	y =0	0

= (23 x2 + 23 x3 − 14 x4 )

Теперь вычислим

							3
=	27	+ 18 −	81	=	45	0	Х
=	2	+ 18 −	4	=	4 .

Рис. 14

																							3 3+2 x − x2			3
	M x					= ∫∫ x ( x, y)dxdy = ∫∫ x2dxdy = ∫dx																		∫	x2 dy = ∫(3x2 + 2 x3 − x4 )dx =
								D									D						0	0		0
																	= 27 + 81 − 243 = 189 x =									M x	= 189 : 45				= 42 = 1, 68.
= (x3 +									1		x4	− 1 x5 )			x =3											M x
= (x3 +											x4	− 1 x5 )			x =3
								2				5							2				5	10	0	m(D)	10		4		25
															x =0				2				5	10		m(D)	10		4		25
															x =0
																							3	3+2 x − x2		3					y =3+2 x − x	2
																							3	3+2 x − x2		3						2
	M y					= ∫∫ y ( x, y)dxdy = ∫∫ xydxdy = ∫dx																		∫	xy dy = ∫ x dx (			1	y2 )			=
	M y					= ∫∫ y ( x, y)dxdy = ∫∫ xydxdy = ∫dx																		∫	xy dy = ∫ x dx (			2	y2 )			=
								D									D						0	0		0					y =0
						3													3
=			1		∫ x (3 + 2 x − x2 )2 dx =													1		∫(9 x + 12 x2 − 2 x3 − 4 x4 + x5 )dx =
=			2		∫ x (3 + 2 x − x2 )2 dx =													2		∫(9 x + 12 x2 − 2 x3 − 4 x4 + x5 )dx =
						0													0
	1	(		9		x2 + 4 x						3 −	1	x4 −		4	x5 +		1		x6 )	x =3	= 81	+ 54 − 81 − 2 243 + 243 = 351
	1			9									1			4			1			x =3
2													2						6
2		2											2	5					6				4		4	5	4		20
																						x =0	4		4	5	4		20
																						x =0
y								=			M y		=	351 :			45 = 39 = 1, 56.														Y
y							0	=					=	351 :			45 = 39 = 1, 56.														Y
							0			M (D)				20			4		25
										M (D)				20			4		25							x2 + y 2 = R2					R
Ответ: центр масс имеет координаты																										x2 + y 2 = R2					R	r = R
Ответ: центр масс имеет координаты
														42			39
														42			39														y0 C
C(1, 68; 1,56) = C (25 ;																	25 ).													D
Пример 6. На каком расстоянии от диаметра																													–R		0	R	X
находится центрóид(7) полукруга радиуса R?																											Рис. 15

Первое решение. Поместим начало координат в центр полукруга, и пусть ось его диаметр лежит на оси ОХ. (см. Рис. 15). Тогда полукруг D задаётся неравенствами:

x2 + y2 ≤ R2 , y ≥ 0 . Центроид любой симметричной фигуры лежит на её оси симметрии,

поэтому центрóид C( x0 ; y0 ) полукруга лежит на оси OY, т.е. x0 = 0 . Вычислим

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ответы на теорию по математике

#
20.04.2015790.62 Кб56Bilety_po_Vysshey_Matematike.docx
#
20.04.2015186.77 Кб27билет 11 отдельно.pdf
#
20.04.2015343.94 Кб39двойные интегралы 15 вопрос.pdf