9. Интегралы от тригонометрических функций.
http://integraloff.net/int/theory/09.php
Интегралы от тригоном етрических функций (31 ш)т
10. Две задачи, приводящих к понятию «интеграл». Свойства определенных интегралов. Интеграл с переменным верхним пределом.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Основным понятием интегрального исчисления является все же не понятие неопределенного интеграла, а понятие интеграла определенного. Оно существенно сложнее и целесообразно предпослать ему некоторые задачи конкретного характера, которые выясняют необходимость введения этого понятия.
I. Задача о массе стержня
Если стержень однороден, то его истинная плотность одинакова во всех его точках и равна его средней плотности. У неоднородного же стержня истинная плотность p меняется от точки к точке. Если определять положение каждой точки M стержня с помощью расстояния x ее от одного из концов стержня (см. рис. 1), то его плотность p в точке x будет функцией от x, p = p(x). Поставим задачу, как, зная эту функцию и длину l стержня, найти его массу m.
При решении этой задачи будем считать плотность p(x) непрерывной функцией. Переходя к решению, разделим стержень точками x1 < x2 < ... < xn-1 (0 < xk < l) на n небольших участков (см. рис. 2).
Для единообразия обозначений положим еще x0 = 0, xn = l, и пусть λ есть наибольшая из разностей xk+1 - xk. Отдельный участок [xk, xk+1] стержня приближенно можно считать однородным [т. к. из-за его малости (непрерывная) функция p(x) не успевает на нем сколько-нибудь заметно измениться]. Делая такое допущение, мы тем самым принимаем плотность p(x) на участке [xk, xk+1] за постоянную. Пусть значение этой постоянной есть p(ξk), где ξk есть произвольно выбранная точка участка [xk, xk+1]. Тогда масса участка [xk, xk+1] будет равна p(ξk)(xk+1 - xk), а полная масса стержня будет
Полученное выражение массы является, однако, лишь приближенным, т. к. на самом деле отдельные участки стержня не однородны. Тем не менее, чем короче эти участки, т. е. чем меньше число λ, тем более точным будет найденное выражение m. Отсюда следует, что точное значение массы таково:
(1)
II. Задача о пройденном пути
Пусть точка M движется по прямой, обладая скоростью v. Эта скорость меняется с течением времени и потому является функцией от времени t, v = v(t). Поставим задачу - найти путь s, пройденный точкой за промежуток времени от момента t = a до момента t = b.
При решении задачи будем считать скорость v(t) непрерывной функцией t. Переходя к решению, разделим [a, b] точками t1 < t2 < ... < tn-1 (a < tk < b) на n коротких промежутков времени. Для единообразия положим еще t0 = a, tn = b и пусть λ = max{tk+1 - tk}.
Так
как за короткий промежуток времени [tk,
tk+1]
со скоростью v(t)
(будучи непрерывной функцией) почти не
меняется, то можно приближенно считать
ее за этот промежуток времени постоянной
и равной v(τk),
где
.
С точки зрения механики это означает,
что мы считаем движение точки за время
[tk,
tk+1]
равномерным. Но тогда путь, пройденный
точкой за это время, очевидно, равен
v(τk)(tk+1
- tk),
а путь, пройденный за все время [a,
b],
будет
Полученное выражение для s, будучи лишь приближенным, оказывается тем более точным, чем меньше λ. Поэтому точное значение пути s таково:
(2)