Билеты по Высшей Математике

Функции многих переменных, область определения частные производные, полный дифференциал, частные производные высших порядков.

Функции многих переменных.

говорили о функциях от одной переменной. Но можно говорить также о функциях двух, трех и вообще переменных.

Функция от двух переменных определяется следующим образом. Рассматривается множество пар чисел. При этом имеются в виду упорядоченные пары. Это значит, что две парыисчитаются равными (совпадающими) тогда и только тогда, когдаи. Если, в силу некоторого закона, каждой пареприведено в соответствие число, то говорят, что этим определена на множествефункцияот двух переменныхи.

Так как каждой паре чисел соответствует на плоскости, где введена декартова система координат, точка с абсциссойи ординатой, и, наоборот, каждой точке, таким образом, соответствует пара, то можно говорить, что наша функциязадана на множестветочек плоскости.

Функцию от двух переменных изображают в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат,,, в виде геометрического места точек, проекции которыхпринадлежат множествуопределения.

Например, таким геометрическим местом для функции

,

является верхняя половина шаровой поверхности радиуса 1 с центром в нулевой точке.

В этом же духе можно определить функцию трех переменных. Областью ее определения может теперь служить некоторое множество упорядоченных троек чисел или, что все равно, соответствующих им точек трехмерного пространства, где введена декартова система координат.

Если каждой тройке чисел (точке трехмерного пространства) , в силу некоторого закона, соответствует число, то говорят, что этим наопределена функция.

Аналогично можно рассматривать множество упорядоченных системизчисел, где- заданное натуральное число. Опять, если каждой такой системе, принадлежащей, соответствует в силу некоторого закона число, то говорят, чтоесть функция от переменных, определенная на множестве, и записывается эта функция в виде.

В случае в нашем распоряжении уже нет реального- мерного пространства, чтобы использовать его для изображения системв виде принадлежащих ему точек. Но математики выдумали-мерное пространство, и оно им благополучно служит, и притом не хуже, чем реальное трехмерное пространство. Именно,-мерным пространством называется множество всевозможных системчисел.

Если две функции иотпеременных заданы на одном и том же множествесистем- точек-мерного пространства, - то можно определить сумму, разность, произведениеи частное, как функции, определенные напри помощи равенств, аналогичных равенствам (2), где надо только числазаменить системами. Естественным образом определяются также сложные функции, такие, как, где- тройки чисел, принадлежащих некоторому множеству троек.

Ниже приводится несколько примеров функций многих переменных, заданных посредством элементарных формул.

П р и м е р 8. , где,,,- заданные постоянные действительные числа, есть линейная функция от трех переменных. Она задана на всем трехмерном пространстве. Более общая линейная функция отпеременныхзадается формулой, где- заданные постоянные числа. Эта функция определена в любой точке-мерного пространства, или, как еще говорят, на всем- мерном пространстве.

П р и м е р 9. . Эта действительная функция задана на области, представляющей собой круг радиуса 1 с центром в, из которого удалены все граничные точки, т. е. точки окружности радиуса 1 с центром. Для этих точек наша функция не определена, потому чтоне имеет смысла.

П р и м е р 10. Функция

геометрически изображается двумя параллельными полуплоскостями, не связанными между собой. Расположение их по отношению к системе координат очевидно.

Функция от одной переменной может быть задана неявным образом при помощи равенства

, (3)

где есть функция от двух переменныхи.

Пусть на некотором множестве точекзадана функция. Равенство (3) определяет некоторое подмножествомножества, на котором функцияравна нулю. Конечно, в частности,может быть пустым множеством. Пусть- непустое множество, и пусть- множество (очевидно, непустое) таких значений(чисел), которым соответствует хотя бы однотак, что пара,принадлежит. Таким образом,есть множество всех чисел, каждому из которых соответствует непустое множествочиселтак, что, или, что все равно, так, что для указанной парывыполняется равенство (3). Этим определена на множественекоторая функцияот, вообще говоря, многозначная. В таком случае говорят, что функцияопределена неявно при помощи равенства (3). Для нее, очевидно, выполняется тождество

для всех .

По аналогии можно также определить фуекцию от переменной, определяемую неявно при помощи равенства (3). Для нее выполняется тождество

для всех ,

где - некоторое множество чисел. Говорят еще, что функция(или) удовлетворяет уравнению (3). Функциюназывают обратной по отношению к функции.

П р и м е р 11. Уравнение

, (4)

где , неявно определяет двузначную функцию от одной переменной:

;

впрочем, при она однозначна. Естественно считать, что эта двузначная функция распадается на две непрерывные однозначные функциии. Графики их (полуокружности) в совокупности дают окружность радиусас центром в начале координат. Эта окружность есть геометрическое место точек, координатыкоторых удовлетворяют уравнению (4). Но можно, пользуясь формулой (4), конструировать различные однозначные (разрывные) функции, удовлетворяющие уравнению (4). Например, такой является функция

Скалярное поле(2), поверхности и линии уровня(1), производные по направлению(4), градиент скалярного поля(3).

Рассмотрим в 3-х мерном пространстве некоторую область. Если в каждой точке этой области задать число (скаляр), то говорят, что заданоскалярное поле . Согласно такому определению, скалярное поле является функцией точки. Так как положение точкиможно характеризовать ее радиус-вектором, то задание поля будет означать, что установлено соответствие междуи. Таким образом, поле можно рассматривать как функцию векторного аргумента(рис.13).

Рис.13. К определению скалярного поля

Если в области определения поля ввести декартову систему координат, то можно представить как упорядоченную тройку чисели тогда задание поля будет эквивалентно заданию функции трех переменных. В дальнейшем будем считать эту функцию непрерывной и дифференцируемой.

Как известно, функцию одной переменной можно рассматривать как уравнение кривой на плоскости , двух переменных - как поверхность. Представить аналогичный "график" в случае полязатруднительно, поэтому для наглядной характеристики поля используютповерхности уровня.

Поверхностью уровня поля называют геометрическое место точек, в которых поле принимает постоянное значение. Согласно такому определению, уравнение поверхности уровня будет иметь вид:

или

(61)

Уравнение (61) является уравнением поверхности, что объясняет соответствующее название. Придавая различные значения, можно получить наглядное представление о том, как величинараспределена в пространстве. При этом, если в некоторой области поле изменяется быстро, поверхности уровня будут сближаться. Пересекаться они не могут, за исключением одной точки.

Рис.14. Поверхности уровня скалярного поля.

Пример 2-2. Рассмотрим поле вида (или просто). Уравнение (61) принимает вид:

Так как , то

и, таким образом, поверхностями уровня поля будет семейство концентрических сфер с центром в начале координат (рис.14).

Пример 2-3. Построить линии уровня плоского поля , где,,(2-х мерный аналог потенциала электрического диполя).

Решение. Уравнение линий уровня имеет вид:

рис.15. Линии уровня плоского поля.

Для различных значений получается семейство окружностей с единственной общей точкой в начале координат (рис.15). В левой полуплоскости значения поля положительно, в правой - отрицательно, а в точке поле имеет особенность и неопределено.

СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕполе физическое, к-рое описывается ф-цией, в каждой точке пр-ва не изменяющейся при повороте системы координат. В квант. теории поля квантами С. п. явл. ч-цы со спином 0. По поведению относительно пространственной инверсии С. п. делят на собственно скалярные, если полевая ф-ция не меняет знака при инверсии, и псевдоскалярные, если меняет. Отвечающие им ч-цы имеют соответственно положит. и отрицат. внутр. чётность и наз. скалярными (напр., e-мезон) и псевдоскалярными (напр., p-, К-, h-мезоны).

СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ

- поле физическое, к-рое описываетсяф-цией координат пространства-времени х= ( х, t), не изменяющейсяпри поворотах системы координат. Свободные (невзаимодействующие) поля подчиняются Клейна- Гордона уравнению

где -Д'Аламбера оператор, а параметр т наз. массой (ур-ние записанов системе ). Общее решение (*) имеет вид суперпозиции плоских волн с волновым векторомk и частотой (нулевой компонентой 4-вектораk):

В квантовой теории поля ф-ции представляют собойоператоры рождения и уничтожения свободных скалярныхчастиц с импульсом k, массой т и нулевым спином, являющихся квантамиС. п. Для взаимодействующего С. п. в правой части ур-ния (*) стоит выражение, <нелинейно зависящее от самого поля (случай самодействия, напр.:,гдеg - константа взаимодействия) или от др. физ. полей. По поведениюотносительно пространственной инверсии С. п. делят на собственноскалярные и псевдоскалярные. Отвечающие имэлементарные частицы имеют соответственно положительнуюи отрицательную внутреннюю чётность и наз. скалярными частицами ипсевдоскалярными частицами (напр.,K,). А. <В. Ефремов.

Пусть в некоторой области 3-х мерного пространства задано скалярное поле . Выберем в этой области точку. Если перемещаться из этой точки вдоль какой-либо линии, то поле будет меняться от точки к точке. Причем, ясно, что для различных направлений скорость изменениятакже может оказаться различной и должна характеризовать само поле в рассматриваемой точке или ее окрестности. При этом, по смыслу рассуждений, эта величина должна быть векторной. Рассмотрим строгое определение этой характеристики на примере гидромеханической аналогии. Пусть в пространстве задано скалярное поле давления жидкости или газа. Поместим в эту область тело произвольной формы, ограниченное поверхностью, (рис.24). Вычислим суммарую силу , действующую на тело со стороны среды.

Рис.24 К определению градиента скалярной функции

Рассмотрим площадку , содержащую точкуна поверхности. Модуль силы, действующей на площадку, равен, а направление совпадает с направлением нормали к поверхности в точке. Таким образом, вектор силы

(71)

Полная сила может быть вычислена интегрированием по поверхности :

(72)

Если результат (72) разделить на объем , заключенный внутри поверхности, то получившаяся величина

(73)

будет "средней" силой, действующей со стороны среды на любую точку внутри . Физической причиной этого действия является перепад давлений между различными точками среды.

Способность поля (в данном случае поля давлений) оказывать действие на пробное тело является характеристикой самого поля и поэтому не должна зависеть на формы и размеров тела, помещенного в это поле. Будем стягивать поверхность к точке, устремляя, таким образом,и рассмотрим предел

(74)

Если предел (74) существует, то по смыслу рассуждений он определит плотность силы, действующей со стороны поля (давлений) на точечное тело, помещенное в точку и будет характеризовать быстроту изменения поля (перепад давлений) в окрестности этой точки.

Рассмотрим общий случай скалярного поля . Если для полясуществует предел (74) при стягивании поверхности к точке , то он называетсяградиентом поля в этой точке:

(75)

По определению является вектором и вообще, выражение (75), будучи примененным в каждой точке области определения поля , будет задавать векторное поле градиента.

Формула (75) задает определение в форме, независящей от системы координат - инвариантно. Пользуясь (75), получим формулу вычисления градиента скалярного поля в декартовой системе координат. Тогда, так как вектор нормали :

(76)

Применим к каждому слагаемому (76) формулу Остроградского-Гаусса (3.1):

(77)

Применяя теорему о среднем к правой части (77), получим

(78)

переходя к пределу и сравнивая с определением градиента (75), получим формулу для вычисления градиента в декартовой системе координат:

Производная по направлению. Выберем в пространстве, где задано скалярное поле некоторое направление с помощью единичного вектора. Считая, что этот вектор определяет координатную осьи пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, вычислим производную (80) Полученное выражение, учитывая, что - координаты вектора,можно переписать как скалярное произведение (81) Это выражение (81) называется производной по направлению поля . Из определения (81) следуют свойства градиента: направлен перпендикулярно к линии уровня ; направлен в сторону наискорейшего возрастания функции ; Формула (79) позволяет получить следующие свойства и правила вычисления : 1. (82) 2. (83) 3. (сложное поле) (84) Пример 3-8. Вычислить градиент поля , где- модуль радиус-вектора,. Решение. Согласно выражению (79), получим Аналогично, ,и тогда, складывая вычисленные производные, получим: или в бескоординатной форме

3. Формула Тейлора для функции двух переменных. Экстремум функции двух независимых переменных, необходимые и достаточные условия. (http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/fmp/htm_fmp/fmp_lek5.htm- не копируется инфа)

Формула Тейлора

Рассмотрим пару :

Так как мы делали линейную замену, можно просто подставить обратно, тогда получим:

—формула Тейлора для функции многих переменных.

В частности, при :

Определение точки экстремума функций двух переменных:

Говорят, что функция имеет в максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любойиз неё выполняется неравенство

Необходимое условие существования:

Пусть функция имеет вэкстремум. Тогдаилибо равны 0, либо равны, либо не существуют.

Замечание:

Если - дифференцируемая в, то.

Достаточное условие существования:

Пусть – стационарная точка, дважды непрерывно дифференцируемой функции. Если число, то вфункция имеет экстремум.

	- минимума	Экстремума нет	Требуются доп. исследования
	- максимума	Экстремума нет

4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Касательная плоскость к поверхности в её точке(точка касания) есть плоскость, проходящая черези содержащая в себе все касательные, проведённые в точкеко всевозможным кривым, проведённым на поверхности через точку

Нормалью к поверхности в точкеназывается прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к касательной плоскости, проведённой в этой точке.

Если уравнение поверхности имеет вид F(x, y, z)=0, то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид:

Уравнение нормали к этой поверхности в точке есть

В случае явного задания поверхности уравнением (8.1) и (8.2) примут вид

Пример решений

Пример 7.1. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке

Решение: Имеем

Тогда, согласно (8.3) уравнение касательной плоскости к данной поверхности в указанной точке будет иметь вид: z - 6 = - 4(x + 1) + 2(y - 2), то есть 4x - 2y + z + 2 = 0, а уравнение нормали

Пример 7.2. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к косинусу

Решение. Имеем

Тогда

Уравнение касательной плоскости запишем в виде

ИЛИ

Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть N и N₀ – точки данной поверхности. Проведем прямую NN₀. Плоскость, которая проходит через точку N₀, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN₀ и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN₀.

Определение. Нормалью к поверхности в точке N₀ называется прямая, проходящая через точку N₀ перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М₀(х₀, у₀), касательная плоскость в точке N₀(x₀,y_0,(x₀,y₀)) существует и имеет уравнение:

.

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х₀, у₀) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х₀, у₀) к точке (х₀+х, у₀+у).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

5. Метод наименьших квадратов.

В основе метода наименьших квадратов (МНК) лежит поиск таких значений коэффициентов регрессии, при которых сумма квадратов отклонений теоретического распределения от эмпирического была бы наименьшей.

Иными словами, из всего множества линий, линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной:

следовательно

Целью процедур линейной регрессии является подгонка прямой линии по точкам. А именно, построить линию регрессии так, чтобы минимизировать квадраты отклонений этой линии от наблюдаемых точек. Поэтому на эту общую процедуру иногда ссылаются как на оценивание по методу наименьших квадратов. Прямая линия на плоскости (в пространстве двух измерений) задается уравнением Y=ax+b

6. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные свойства таблицы интегралов.

Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любогох из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функцияf(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение называютподынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

, где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:

первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;

второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найти первообразную функции , значение которой равно единице прих = 1.

Решение.

Мы знаем из дифференциального исчисления, что (достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций). Таким образом,. По второму свойству. То есть, имеем множество первообразных. Прих = 1 получим значение . По условию, это значение должно быть равно единице, следовательно,С = 1. Искомая первообразная примет вид .

Ниже выписана основная таблица неопределенных интегралов, в данной таблице приведены неопределенные интегралы от основных функций. Вычисление (взятие) интегралов заключается в том, чтобы специальными методами (заменами переменных) свести данный неопределенный интеграл к уже известному (существующему) интегралу, т.е. неопределенному интегралу из данной таблицы интегралов.

где

Здесь C - произвольная постоянная, т.к. производная от постоянной есть нуль, следовательно, неопределенный интеграл определяется с точностью до постоянной.

Операция интегрирования функции обладает некоторыми свойствами, которые помогают при вычислении неопределенных интегралов. Ниже выписана таблица основных свойств интегралов.

Данные свойства позволяют свести исходный неопределенный интеграл к серии более легких и простых интегралов, которые берутся из основной таблицы неопределенных интегралов.

где

Здесь C-произвольная постоянная, т.к. производная от постоянной есть нуль, следовательно, неопределенный интеграл определяется с точностью до постоянной.