Математическая логика и теория алгоритмов

Федеральное агентство по образованию

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ

(образован в 1953 году)

Кафедра физики и высшей математики

Дистанционное обучение

Физ. мат. 8.11.230102 зчн.плн. Физ. мат. 8.11.230102 зчн. скр

Физ. мат. 8.11.230102 очн.плн. Физ. мат. 8.11.230102 очн. скр

А.Р. Садыкова

«Математическая логика

и теория алгоритмов»

Методические рекомендации

и контрольные задания для студентов специальности 230102 (2202) всех форм обучения

www.msta.ru

Москва – 2005

Методические рекомендации:

Процесс изучения предмета «Теория принятия решений» состоит из следующих этапов:

• проработка установочных и обзорных лекций;

• самостоятельная работа над учебниками и учебными пособиями;

• систематическая работа над задачами в коде практических занятий;

• самостоятельное решение задач из учебных пособий и задачников;

• выполнение контрольных работ;

• сдача зачета;

Предложенные контрольные задания являются приложением к учебно-практическому пособию по «Математической логике и теории алгоритмов» для студентов специальности 2202 (МГУТУ). Задачи распределяются по вариантам согласно следующей таблице:

Задания Варианты	1	2	3	4	5
I	1	11	21	31	41
II	2	12	22	32	42
III	3	13	23	33	43
IV	4	14	24	34	44
V	5	15	25	35	45
VI	6	16	26	36	46
VII	7	17	27	37	47
VIII	8	18	28	38	48
IX	9	19	29	39	49
X	10	20	30	40	50

Контрольные задания

1. Доказать, что если А есть множество корней уравнения и , то А=В.

2. Доказать, что Ø{Ø}.

3. Доказать тождества

а)

б)

в)

4. Доказать, что .

5. Доказать, что существует лишь одно множество, не имеющее элементов.

6. Дано генеалогическое древо (см. рис.). Выпишите упорядоченные пары, находящиеся в следующих отношениях на множестве Р членов этой семьи:

а)

б)

5. Множество определяет отношение на множестве . Найдите все упорядоченные пары, ему принадлежащие.

6. Постройте ориентированный граф отражающий упорядоченные пары, принадлежащие бинарному отношению на множествах и .

7. С помощью таблицы покажите упорядоченные пары бинарного отношения на множествах и .

8. Диаграмма Хассе частичного порядка R на множестве показана на рисунке. Перечислите элементы R и найдите минимальный и максимальный элементы частичного упорядоченного множества А.

5. Определите, какие из приведённых ниже отношений на Z являются рефлексивными, симметричными, а какие транзитными.

а) «х + у - нечётное»;

б) «х + у - чётное»;

в) «ху - нечётное».

5. Р: «Логика - забава»,

Q: «Сегодня пятница».

Выразите каждое из следующих составных (сложных) высказываний в символической форме.

а) Логика – не забава, и сегодня не пятница;

б) Сегодня не пятница, да и логика не забава;

в) Либо логика – забава, либо сегодня пятница.

5. С помощью таблицы истинности показать эквивалентность высказываний и

6. Дан предикат : «х – целое число и » Выразите словами высказывание: .

7. Постройте таблицу истинности для следующего высказывания .

8. Пусть P, Q и R – высказывания:

P: «Я умираю от жажды»,

Q: «Мой стакан пуст»,

R: «Сейчас три часа».

Запишите, каждое из следующих высказываний в символической форме:

а) Сейчас три часа и я умираю от жажды.

б) Если я умираю от жажды, то мой стакан пуст.

5. Х – кошка, : «у Х есть усы»

Запишите каждое из высказываний в символической форме.

а) «усы есть у всех кошек»;

б) «найдётся кошка без усов».

5. Докажите эквивалентность

~.

5. Постройте таблицу истинности

.

5. Докажите тождественную истинность

а)

б)

5. Покажите прямым способом, что произведение ху двух нечётных целых чисел х и у всегда нечётно.

6. Доказать .

7. Доказать ,

5. Прямым рассуждением докажите: если n и m – чётные, то n+m – чётное.

6. Доказать методом математической индукции , .

7. Доказать закон дистрибутивности .

8. Упростить с помощью карты Карно.

9. Упростить булеву функцию: .

10. Привести к Д.Н.Ф.

5. Привести к К.Н.Ф.

5. Найти Д.Н.Ф. и К.Н.Ф. булева выражения .

6. Изобразить карту Карно булева выражения с Д.Н.Ф.

и найдите его упрощенную версию.

33. Доказать: - группа.

34. Доказать: - не группа.

35. Постройте граф с множеством вершин и множеством рёбер .

36. Найдите циклы: а) два длины 5;

б) три длины 4;

в) два длины 3, в граф G.

35. Коммивояжер должен совершить поездку по городам вернуться обратно, побывав в каждом городе ровно один раз, сведя при этом затраты на передвижение к минимуму. Решите эту задачу, если её геометрическая модель имеет вид:

38. Изобразите орграф с вершинами и матрицей смежности

39. С помощью диаграмм Эйлера-Венна показать результат следующих операций

С

39. Доказать тождество: .

40. Множество определяет отношение на множестве . Найдите все упорядоченные пары ему принадлежащие.

41. Какие свойства выполняются для бинарного отношения «х+у - нечётное» на множестве R.

42. Докажите эквивалентность ~.

43. Запишите с помощью кванторов и предикатов следующее: «Яблоки либо сладкие, либо кислые».

44. Доказать, что кратно 2 при .

45. Упростить .

46. Найти Д.Н.Ф. по таблице

а в с			f
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 0 1 0 0 1 0 0

39. Доказать, что - группа.

40. Найдите циклы в графе.

39. Изоморфны ли графы? Ответ обосновать.

Математика

«Математическая логика и теория алгоритмов»

Садыкова Альбина Рифовна

Подписано к печати:

Тираж:

Заказ №:

8