1. Методические указания по работе с модулем

Приступая к освоению данного модуля, Вы должны помнить, что только самостоятельная работа с модулем позволит Вам приобрести необходимые умения и навыки. Для того, чтобы быстрее и качественнее освоить модуль, в конце пособия приведен словарь основных понятий модуля, предложен опорный конспект, вопросы для самоконтроля, типовые примеры и задачи с решениями, а также тесты с ответами и итоговый тест, который оцениваете Вы сами.

Для более полного понимания материала познакомьтесь со словарем основных понятий модуля. Затем прочитайте внимательно опорный конспект, обратив внимание на выделенные основные понятия и примечания. Разберите решение приведенных примеров и задач. Чтобы закрепить усвоенный материал, попробуйте ответить на вопросы, предложенные Вам для самопроверки, решить задачи и ответить на тесты. Если Вы испытываете затруднения при ответе, то можете ознакомиться с ответами на тесты, приведенными в конце пособия. Знакомство с ответами позволит Вам проверить правильность Ваших ответов. Ответы на вопросы для самопроверки можно найти в тексте каждого раздела. В составе модуля предусмотрена контрольная работа, которая может быть проведена как в условиях кафедры в период лабораторно-экзаменационной сессии, так и по месту Вашего проживания. Без выполнения контрольной работы модуль не оценивается. Контрольную работу и результаты итогового теста оценивает преподаватель.

2.Комплексные числа и их характеристики

Введем в рассмотрение мнимую единицу , то есть число, квадрат которого равен -1 (i² = -1).Пусть x и y какие- либо действительные числа. Тогда число z = x + iy называется комплексным (иногда «мнимым») числом.

Число x обычно называют действительной или вещественной частью комплексного числа z, а y - его мнимой частью. Часто употребляется обозначение x = Re z, y=Im z (от слов reality и imaginaire, фр. )

Если х = 0, то число z называют чисто мнимым. Если х = у =0 одновременно, то мы имеем дело с комплексным числом 0.

Из сказанного следует, что комплексное число можно изобразить точкой на плоскости (рис.1). Возьмём для этого прямоугольную систему координатных осей (хОу). Вещественные числаz = х + оi изображаются точками на оси x, числа z=o+iy точками на оси у. Эти оси и называют, соответственно, вещественной (или действительной) и мнимой. Тогда любой точке плоскости М (х, у), координатами которой являются действительная и мнимая части комплексного числа х + iy,может быть поставлено в соответствие это число. И наоборот: каждому комплексному числу соответствует лишь одна точка этой плоскости. Из- за наличия взаимно однозначного соответствия между точками этой плоскости и комплексными числами, рассматривается плоскость называется комплексной плоскостью или плоскостью комплексного переменного z и обозначается обычно.

Комплексные числаz₁ = x₁ + iy, и z₂= x₂+ iy₂ считаются равными, т.е. z₁ = z₂, тогда и только тогда, когда х₁ = х₂и у₁ = у₂. Такое определение равенства чисел является естественным и по причине введения комплексной плоскости. По этой же причине ясно, что понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не

определяются^¹. Довольно часто, особенно в электротехнике, а также при изучении различных колебательных и волновых процессов комплексным числам ставятся в соответствие вектора с началом в точке (0;0) и концом в точке М (х;у) – (На рис. 1 стрелочка у М на прямой ОМ не поставлена специально!). Аналогия комплексных чисел с векторами является совсем не полной: определены сложение и вычитание, но не определены аналоги скалярного, векторного и смешанного произведений.

Вопросы

1.На какой оси комплексной плоскости будут располагаться

а) действительные числа?

б) чисто мнимые числа?