Лекция 1

1. Основные геометрические образы

В геометрии совокупность однородных объектов называется геометрическим пространством.

Начертательная геометрия рассматривает геометрическое пространство как множество точек.

Любое количество точек называется геометрической фигурой или геометрическим образом, т.е.

Основные геометрические образы, изучаемые в начертательной геометрии:

1. Точка

2. Линия

3. Поверхность

Краткая характеристика геометрических образов:

Точка не имеет размеров (объема)

Линия – траектория непрерывного

движения точки. Не имеет

толщины, имеет бесконечную

протяженность.

Прямая, луч, отрезок –

• частный случай линии.

В начертательной геометрии поверхность определяется как след движущейся линии или другой поверхности.

1.2.Методы проецирования

Центральное проецирование и его свойства

S S -

a (A,B,C) -

B П₁ -

A [SA), [SB), [SC) -

C SA  П₁ = А₁

B₁ SB  П₁ = В₁

A₁ SC  П₁ = С₁

a₁ = (A₁, B₁, C₁) -

C₁ П₁

Рис.1.1

С.1. Проекция точки на плоскость есть точка: A A₁ (рис.1.2).

 B₁   (B, B^, ..., Bⁿ  SB₁)

С.2. Проекция прямой линии на плоскость есть прямая: AB A₁B₁ (рис.1.3, 1.4)

Рис.1.2

С.3. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции линии: [C AB  C₁  A₁B₁ (рис.1.5.)

Рис.1.3. Рис.1.4. Рис.1.5.

Параллельное проецирование и его свойства

S  П₁, S - направление проецирования

Параллельная проекция не определяет положения геометрического образа в пространстве.

Рис.1.6.

C.4. Если отрезок прямой линии делится точкой в каком-либо отношении, то и проекция отрезка делится проекцией точки в том же отношении: А₁С₁/ С₁В₁= AC / CB (рис.1.7.).

С.5. Точка пересечения проекций двух пересекающихся прямых линий является проекцией точки пересечения этих прямых [AB][CD] = K  [A₁B₁] [C₁D₁]= K₁ (рис.1.8.).

С.6. Проекции отрезков параллельных прямых параллельны и их длины находятся в током же отношении, как и длины проецируемых отрезков: [AB]  [CD]  [A₁B₁]  [C₁D₁] AB / CD = A₁B₁ / C₁D₁ (рис.1.9.).

Рис.1.7. Рис.1.8. Рис.1.9.

С.7. Проекции двух скрещивающихся прямых в зависимости от направления проецирования могут или пересекаться, или быть параллельными: [AB  CD]  [A₁B₁  C₁D₁]  [A₁B₁]  [C₁D₁] (рис.1.10, 1.11.).

Рис.1.10 Рис.1.11

С.8. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения: П₁  П₁  A₁B₁C₁ = A₁B₁C₁ (рис.1.12).

А С.9. При параллельном перемеще-

нии плоской фигуры или плос-

В Скости проекций изображение

А₁ фигуры на этой плоскости не

изменяется: П₂||П₁|А₂В₂|=

В₁ С₁ |А₁В₁| (рис.1.13, 1.14).

Рис.12

Рис.1.13 Рис.1.14

Ортогональное проецирование и его свойства

C.10. При прямоугольном проецировании прямой угол проецируется без искажения, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а друга не перпендикулярна ей: [AB]  [BC]  [BC]  П₁ , [AB]  П₁ 

 [A₁B₁]  [B₁C₁] (рис.1.15).

Все приведенные выше свойства центрального и параллельного проецирования действительны для ортогонального проецирования.

Рис.1.15