Варианты контрольных работ

Чтобы определить номер своего варианта, студент должен воспользоваться приведённой ниже таблицей. Например, если номер студента в учебном журнале - первый, то он выполняет задание для варианта № 1, если двенадцатый- то вариант № 2, если тринадцатый -то вариант № 3 и т. д. Затем, определив номер своего варианта, необходимо из каждого задания контрольной работы выбрать задачу с соответствующим номером.

Вариант, присвоенный студенту учебным отделом	Вариант контрольной работы
1, 11, 21	1
2, 12, 22	2
3, 13, 33	3
4, 14, 24	4
5,15, 25	5
6, 16, 26	6
7,17, 27	7
8, 18, 28	8
9, 19,29	9
10, 20, 30	10

Образцы решения типовых заданий.

ПРИМЕР 1. Найдите предел

Решение.

Разделим числитель и знаменатель выражения на 7ⁿ. После преобразований получим:

.

(Так как при выражениестремится к нулю по свойству показательной функции с основанием 0<a<1).

ПРИМЕР 2. Найдите предел

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы устранить её, разделим числитель и знаменатель на:

.

ПРИМЕР 3. Найдите предел .

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное ему выражение. Получим:

.

ПРИМЕР 4. Найти предел

Решение.

Имеем неопределенность вида “0/0”. Подвергнем функцию преобразованию, чтобы получить возможность использовать первый замечательный предел;

.

ПРИМЕР 5. Найти предел.

х

Решение.

Имеем неопределённость вида . Чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, преобразуем данную функцию:

^.

ПРИМЕР 6. Продифференцировать функцию: .

Решение.

Находим производную данной функции по правилам дифференцирования сложной функции:

.

ПРИМЕР 7. Найти производную функции, заданной неявно: .

Решение.

Дифференцируем данную функцию по х:

, откуда

ПРИМЕР 8. Найти производную от функции, заданной параметрически:.

Решение.

.

ПРИМЕР 9. Найти область определения функции

Решение.

Данная функция определена для всех х, не обращающих в нуль знаменатель, т.е. не являющихся корнями уравнения. Это все числа вида.

Таким образом, область определения D(у) - вся числовая прямая, кроме точек.

ПРИМЕР 10. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение.

Функция определена и непрерывна в интервале (0;+). В граничной точкеобласти определения функция имеет бесконечный разрыв, так как.

Так как в точке функция имеет бесконечный разрыв, то прямаяявляется вертикальной асимптотой. Найдем уравнение наклонной асимптоты(если она существует).

;

.

(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).

Итак, и уравнение асимптоты. Таким образом, график имеет в качестве асимптот оси координат.

Найдем производную функции и критические точки:

. Стационарная критическая точка:. Исследуем знак производной на интервалах(0;е) и (е;).

х

0

е

+

-

Составим таблицу:

x	(0;e)	e	(e;+)
y`	+	0	-
y	возрастает	max	убывает

Экстремум функции: .

Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:

,при.

Определим знак второй производной в интервалах и:

+

-

-

х

0

+

x	(0;)	4,48	(;)
y``	-	0	+
график	выпуклый	точка перегиба	вогнутый

Составим таблицу:

y()=3/()0.33

График пересекает ось абсцисс в точке (1;0). Точек пересечения с осью ординат нет. Строим эскиз графика функции:

у

х

1

е

е

ПРИМЕР 11. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

Решение.

Построим график данной функции в декартовых координатах для :

r

/2



3/2

2

φ

0

Из этого графика видно, что приимеем.

Поэтому требуемый график будет находиться в секторах, соответствующих данным значениям , а также в секторах, симметричных им относительно начала координат (в силу того, что передстоит чётный коэффициент).

Учитывая характер изменения rв этих промежутках (от 0 до 1 и затем снова до 0) получим следующий график (восьмилепестковую розу):

ПРИМЕР 12. Исследовать сходимость ряда

Проверим, выполняется ли необходимое условие сходимости знакоположительного ряда. Найдём предел общего члена ряда

.

^{Так как данный предел не равен нулю, то не выполняется необходимое условие сходимости ряда, следовательно, он расходится.}

ПРИМЕР 13. Разложить функцию в ряд по степеням х.

Решение.

Разложим функцию в ряд Маклорена. Учитывая, что , разложим функцию на сумму двух более простых:

.

Далее преобразуем:

.

Воспользуемся разложением:

.

*

Получим(при<1, т.е. при<2)

то есть.

Аналогично получим второе разложение:

.

Тогда:

.

Окончательно получаем:

ПРИМЕР 14. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

Введем подстановку , откуда. Тогда. Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к прежней переменной:

.

ПРИМЕР 15. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

Подведем под знак дифференциала знаменатель подынтегральной дроби:

.

ПРИМЕР 16. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

^{Применим формулу интегрирования по частям: . В данном случае:}

^{. Подставляя эти выражения в формулу, получим:}

^.

^{ПРИМЕР 17. Вычислить интеграл или установить его расходимость.}

^{Решение.}

^{Точка является особой точкой, поскольку подынтегральная функция имеет в ней бесконечный разрыв. Поэтому:}

^{- получили бесконечный предел.}

^{Таким образом, данный интеграл расходится.}

^{ПРИМЕР 18. Решить уравнение: .}

^{Решение.}

^{Данное уравнение является дифференциальным уравнением первой степени с Разделяющимися переменными. Разделим переменные:}

^.

^{Проинтегрируем части последнего равенства:}

^.

^{Отсюда:}

^.

^{Окончательно имеем:}

^{- общее решение данного уравнения.}

^{ПРИМЕР 19. Решить уравнение: .}

^{Решение.}

^{Данное дифференциальное уравнение относится к типу однородных дифференциальных уравнений}

^,

^{которые решаются с помощью подстановки}

^.

^{Отсюда:}

^.

^{После подстановки в исходное уравнение получим:}

^.

^{Это – уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:}

^{Интегрируя обе части, получим:}

^{Используя обратную подстановку, получим:}

^{Окончательно имеем обще решение в виде:}

^.

^{Теперь, чтобы найти частное решение, подставляем в общее решение начальное условие:}

.

Искомое частное решение:

.

Контрольные работы для студентов со средним полным образованием.

Контрольная работа № 1.

Задание 1. Найти следующие пределы:

1a); б) ;

в) ; г) ;

2.a) ; б);

в) г);

3. а); б) ;

в) ; г) ;

4.a) ; б) ;

в) ; г) ;

5.a) ; б) ;

в) ; в) ;

6.a) ; б) ;

в) ; г) ;

7.a) ; б) ;

в) ; г) ;

8.a) ; б) ;

в) ; г)

9.a) ; б) ;

в) ; г) ;

10a) ; б) ;

в); г)

Задание 2.Найдите производные функций:

1. а)y=e^xtgx+; б)x=ln(xy) ; в)

2. a) y = ln(e^xcosx + e^xsinx) ; б) x⁴+y⁴ = x²y² ; в)

3. a) y = arcsin(sinx – cosx) ; б) x = e^x+y ; в)

4. a) y = ln; б) cos(xy)=x ; в)

5. a) y = x²log₃x+3^x ; б) x³+y³-3xy=0 ; в)

6. a) y = sin³x ; б) ; в)

7. а) y= ; б)y^x=x^y; в)

8. а) y= ; б)x³+y³-6xy=0 ; в)

9. а) y= ; б)y=2x+arctgy; в)

10. а) y=arctg ; б)x³+x²y+y²=0 ; в)

Задание 3. Найти область определения функций

1. y = ; 2. y = ; 3. y = ; 4. y =

5. y =; 6. y =; 7. y =; 8. y =

9. y = ; 10. y =

Задание 4.Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график:

1. y = ln sin x; 2. y=log₂-x, 3. y=; 4. y=cos³x, 5. y= ln(x²-1)

6. y=3^, 7. y= x³+; 8. y=2 ; 9. y=(x-1)e^3x+1 ; 10. y=ln x

Задание 5.Построить график функции, заданной уравнениями в полярных координатах.

1. r=sin4; 2. r=; 3. r=cos2; 4. r=ln ; 5. r=sin +1,

6. r=sin2; 7. r=2+sin; 8. r=cos ; 9. r=cos²-sin²; 10. r=sin3