lec5 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

5-2.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение Первая теорема Вейерштрасса

Вторая теорема Вейерштрасса Теорема Больцано-Коши

23 сентября 2007 г.

Ограниченная функция (bounded function)

Функция называется ограниченной на отрезке [a, b], если существует число M такое, что для всех x [a, b] выполняется неравенство: | f (x)| ≤ M.

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005

12

Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм

Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм

(1815-1897) – немецкий математик.

Начал свою деятельность в качестве

учителя средней школы. С 1856 года

профессор Берлинского университета.

Вейерштрасс дал строгое

доказательство основных свойств

функций, непрерывных на отрезке, построил пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке и получил ряд других результатов.

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005

13

Две теоремы Вейерштрасса

Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f (x)

непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция f (x)

непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке

наименьшего значения m и наибольшего значения M.

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005

14

Больцано Бернард

Больцано Бернард (1781–1848) –

чешский математик, философ,

теолог. Занимал кафедру истории

религии в Пражском университете.

В 1820 году был уволен за

вольнодумство и лишен права

публичных выступлений, после чего работал, в основном, в области логики и математики.

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005

15

Теорема Больцано-Коши

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и значения на концах этого отрезка f (a) и f (b) имеют противоположные знаки,

то внутри отрезка найдется точка c (a, b) такая, что f (c) = 0.

y

f (x)

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005

16

5-3.

Точки разрыва

Правосторонние и левосторонние пределы Разрыв I рода

Разрыв II рода

23 сентября 2007 г.

Левосторонний предел

Если функция f (x) стремится к числу A1 по мере стремления x к

a со стороны меньших значений, то A1 называют

левосторонним пределом функции в точке x = a и пишут:

lim f (x) = A1

x→a 0

y

A2

A

1

x

a

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005

18

Правосторонний предел

Если функция f (x) стремится к числу A2 по мере стремления x к a со стороны больших значений, то A2 называют

правосторонним пределом функции в точке x = a и пишут:

lim f (x) = A2

x→a+0

y

A2

A

1

x

a

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005

19

Точка разрыва (break point)

Рассмотрим функцию f (x), определенную на промежутке X, кроме, может быть, точки a X.

Точка a называется точкой разрыва функции f (x), если в ней функция определена, но не является непрерывной, или не

определена в этой точке.

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005

20