Бесконечно малые величины

Функция называется бесконечно малой величиной при или при , если ее предел равен нулю: .

Теорема. Если функция имеет при () предел, равный , то ее можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой при (), т.е. .

Теорема. Если функцию можно представить как сумму числа и бесконечно малой при (), то число есть предел этой функции при (), т.е. .

Свойства бесконечно малых величин:

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечного малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в т.ч. на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая.

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Отношение двух бесконечно малых (неопределенность вида ) в зависимости от характера изменения переменных в числителе и знаменателе может оказаться или числом, или бесконечно малой или бесконечностью.

Бесконечно большие величины

Функция называется бесконечно большой при (), если ее предел равен бесконечности: .

Свойства бесконечно больших величин:

1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

Об отношении или разности двух бесконечно больших функций никакого общего заключения сделать нельзя. В этих случаях говорят о неопределенностях вида или . В зависимости от характера изменения бесконечно больших величин их отношение или разность может оказаться или числом, или бесконечно малой, или бесконечно большой.

Теорема. Если функция есть бесконечно малая величина при (), то функция является бесконечно большой при (). И, наоборот, если функция бесконечно большая при (), то функция есть величина бесконечно малая при ().

Сравнение бесконечно малых

пусть и  бесконечно малые функции при () и существует предел , тогда:

1. если , то и называются бесконечно малыми одного порядка;

2. если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми ();

3. если , то  бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с .

Например, при , , , .

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения бесконечно малых, эквивалентных данным, т.е. если , при (), то .

Замечательные пределы.

Первым замечательным пределом называется предел вида .

Следствие.

Вторым замечательным пределом называется предел: .

Следствие. (число ).

Пример. Вычислить пределы:

; ; ;

; ;

; .

Решение:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

Непрерывность функции

Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим условиям: 1) определена в точке , т.е. существует ; 2) имеет конечные односторонние пределы функции при слева и справа; 3) эти пределы равны значению функции в точке , т.е. .

Пример. Исследовать функции на непрерывность в точке : а) , б) .

Решение: а) . При функция определена, , , , т.е. все три условия непрерывности функции в точке выполнены. Следовательно, функция в точке непрерывна.

б) . При функция не определена; ; . Т.о. в точке функция не является непрерывной, т.к. не выполнены первое и третье условия непрерывности функции в точке.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва:

Первого рода – когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при , не равные друг другу: . К точкам разрыва первого рода относятся также точки устранимого разрыва, когда предел функции при существует, но не равен значению функции в этой точке.

Второго рода – когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.

Свойства функций, непрерывных в точке:

1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .

2. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .

3. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке . Свойство можно записать: , т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

2. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения (теорема Вейерштрасса).

3. Если функция непрерывна на отрезке и значения ее на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка такая, что . (Теорема Больцано-Коши.)

Пример. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции . Установить характер разрыва.

Решение: При функция не определена, следовательно, функция в точке терпит разрыв: , а . Так как односторонние пределы бесконечны, то  точка разрыва второго рода.