Правила и формулы нахождения производных. Производная сложной функции.

Основные правила дифференцирования:

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .

2. Производная аргумента равна единице, т.е. .

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е. .

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е. .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например: .

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле (при условии, что ).

6. Производная сложной функции. Пусть задана сложная функция .

Теорема. Если и дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной , т.е..

Производные основных элементарных функций (таблица производных):

1. Производная логарифмической функции.

А) и, где некоторая функция зависящая от .

Б) и.

2. Производная показательной функции.

А) и.

Б) и.

3. Производная степенной функции.

и .

4. Производная степенно-показательной функции.

.

5. Производная тригонометрических функций.

и ;

и ;

и ;

и .

7. Производная обратных тригонометрических функций.

и ;

и ;

и ;

и .

Пример. Найти производные следующих функций:

А) ;	Б) ;
В) ;	Г) .

Производные высших порядков.

Производной второго порядка или второй производной функции называется производная от ее первой производной, т.е., и обозначаетсяилиили.

Аналогично определяются и обозначаются: производная 3-го порядка ; производная 4-го порядка; ………… производная-го порядка.

Пример. Найти производную 2-го и 3-го порядка:

А)

Б)

Понятие дифференциала и его геометрический смысл.

Пусть функция определена на промежуткеи дифференцируема в окрестности точки,тогдаили по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем, где бесконечно малая величина при . Отсюда:. Таким образом, приращение функциисостоит из двух слагаемых: 1. линейного относительно , т.к.; 2. нелинейного относительно , т.к..

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:.

Пример. Найти приращение функции прии

Пример. Найти дифференциал функции .

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:.

Тогда формулу для дифференциала функции можно записать в виде: . Откуда, поэтомуможно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителеми знаменателем.

Геометрический смысл. На графике функции (рис. 5.) возьмем произвольную точку . Дадим аргументуприращение, тогда функция получает приращение. В точкепроведем касательную, образующую уголс осью. Извидно, что. Изимеем:. Таким образом,и соответствует формуле.

Рис. 5.

Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когдаполучает приращение.

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:

1) .	4) .
2) . 3) .	5) .

Формула дифференциала не изменится, если вместо функции от независимой переменной рассматривать функцию от зависимой переменной. Это свойство дифференциала получило названиеинвариантности (т.е. неизменности) формы дифференциала, т.е. .

Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Согласно формулы , т.е., при достаточно малых значенияхприращение функцииприблизительно равно ее дифференциалу,. Эту формулу часто используется в приближенных вычислениях.

Пример. Вычислить .