!Оптика и квантовая механика / Лекции / Прочие лекции / Лекции по квантовой механике / LEC6

§3 КВАНТОВАНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Итак, в квантовой механике каждой физической величине q сопоставляется оператор (для каждой величины оператор обозначается по-своему: для энергии Ĥ, для импульса ).

Решая уравнение находят собственные значения q₁, q₂ оператора . Согласно одному из постулатов квантовой механики при измерениях q представляемой оператором Q могут получаться только результаты, совпадающие с собственными значениями этого оператора.

Возможны состояния, для которых при измерениях некоторой величины q всегда получается одно и то же значение q_n. О таких состояниях говорят, как о состояниях, в которых q имеет определенное значение. Однако возможны такие состоянии, для которых при измерениях получаются с разной вероятностью различные собственные значения оператора . О таких состояниях говорят, как о состояниях, в которых величина q не имеет определенного значения.

Применительно к моменту импульса в квантовой механике вводят 4 оператора: оператор квадрата момента и три оператора проекций момента на оси координат: , , .

В классической механике	В квантовой механике

Оказывается, что одновременно могут иметь определенные значения лишь квадрат момента и одна из проекций момента на координатные оси. Две другие проекции оказываются совершенно не определенными.

Решение уравнения

(1)

является очень трудным. Поэтому ограничимся приведением конечных результатов: собственные значения оператора квадрата момента импульса равны

(l=0,1,2…) (2)

l – азимутное квантовое число. Следовательно, модуль момента импульса может иметь лишь дискретные значения, определяемые формулой (3)

(l=0,1,2…) (3)

Вид оператора довольно прост, поэтому можно рассмотреть решение уравнения

(4)

В сферических координатах (r, , )

подстановка и сокращение на приведет к уравнению , решением которого является

m - магнитное квантовое число.

Т.к. проекция не может превысить модуль , то максимальное возможное значение .

из этих выражений вытекает, что => направление момента импульса не может совпадать с выделенным в пространстве направлением. Это согласовывается с тем обстоятельством, что направление момента в пространстве является неопределенным.

Направление по отношению к внешнему магнитному полю также квантуется. Это явление часто называют пространственным квантованием. Магнит­ное квантовое число характеризует направление , определяя компо­ненту в направлении поля. Если считать, что направление магнитного поля параллельно направлению оси , то компонента в этом направ­лении равна

. (5)

Возможные значения при данном лежат в пределах от до , проходя через 0, так что число возможных ориен­таций вектора момента количества дви­жения в магнитном поле равно . Когда , имеет только одно значе­ние, равное 0. При может быть равно , 0 или ; при может принимать значение ,, 0, или и

т. д. Мы видим, что ни­когда не может быть строго параллельно или антипараллельно внешнему магнитному полю , поскольку всегда меньше, чем величина полного момента количества движения.

Пространственное квантование орби­тального момента количества движения атома водорода изображено на рис. 1. Мы должны считать, что атом, характе­ризующийся некоторым значением , во внешнем магнитном поле имеет опреде­ленную ориентацию момента количества движения относительно этого поля.

В отсутствие внешнего магнитного поля направление оси совер­шенно произвольно. Поэтому можно с полным основанием считать, что компонента в любом выбранном нами направлении равна (роль внешнего магнитного поля заключается в том, что оно является экспе­риментально задаваемым опорным направлением, относительно которо­го можно измерять).

Почему квантуется только одна компонента ? Это связано с тем обстоятельством, что никогда не может занимать определенного по­ложения относительно оси , а вычерчивает в пространстве конус таким образом, что проекция равна . Причина этого явления заключает­ся в принципе неопределенности: если бы вектор имел определенное направление в пространстве, то , и имели бы вполне определен­нее значения и электрон находился бы в определенной плоскости. На­пример, если бы вектор был направлен вдоль оси , то электрон все время нахо­дился бы в плоскости (рис. 2, а). Это могло бы быть только в том случае, если бы компонента импульса электро­на в направлении имела бы бесконечно большую неопределенность, что, конечно, невозможно, если электрон является ча­стью атома водорода. Однако, поскольку в действительности определенные значе­ния имеют только одна компонента век­тора , а именно ,и его величина и , то положение электрона не ограничено одной плоскостью (рис. 2, б), а характеризуется некоторой неопреде­ленностью, как и в случае координат электрона. Направление постоянно ме­няется, как показано на рис. 3, так что средние значения и равны 0, хотя все время имеет определен­ное значение . Отметим, что из правил квантования момента вытекает, что постоянную Планка можно рассматривать, как естественную единицу момента импульса.

Момент импульса системы, состоящей из нескольких микрочастиц, равен сумме моментов отдельных частиц. Суммарный момент, как и всякий момент вообще, определяется выражением

L-азимутальное квантовое число результирующего момента

- проекция результирующего момента на некоторое направление Z.