Тема 4: Логические отношения между структурами предложений.

Отношение логического следования в КЛВ

Свойства отношения логического следования

Пояснения

Выше изучались структуры отдельных предложений. Рассмотрим, как табличный метод работает с (простейшими) рассуждениями. Табличный метод проверяет, уместен (законен) ли в умозаключении шаг вывода, анализируя структуру умозаключения. В последней выделяются три различных компонента: посылки, шаг вывода, заключения. Структуры посылок и заключения – формулы. Переход от предложений к их структурам уже разобран во 2-й теме. Выше не было символа для отношения логического следования. Будем использовать для него знак «штопора» (выражение Е.К.Войшвилло):

⊨ - символ для отношения логического следования

	Стандартное представление структуры умозаключения, в которомnпосылок, имеет вид А1, А2, … , Аn ⊨В, где Аi (1in) – структураi-й посылки, В – структура заключения.

Запись ⊨А также осмысленна. Она означает, что формула А – закон логики.

Упражнения

17. Придумайте рассуждение, имеющее такую логическую структуру

pÉq,qÉØr,p⊨Ør.

18. Придумайте рассуждения нижеследующих структур, которые показывают, что данные схемы рассуждения логически некорректны.

(а) pÉq, qÉr, Øp, Øq ⊨ Ør

(b) pÉ(q&s), q&s ⊨ p

Определения, пояснения и примеры

Определение отношения логического следования А1, А2, … , Аn ⊨В, (в КЛВ) е.т.е. не существует оценки переменных, входящих в состав А1, А2, … , Аn, В, при которой все посылки – А1, А2, … , Аn– истинны, а заключение В – ложно.

Пример. Является ли следующая схема рассуждения логически корректной?

¬P⊃¬q¸ p ⊨ q

Схема будет логически правильной, если для нее не существует контрпримера, т.е. рассуждения ее структуры, в котором все посылки истинны, а заключение ложно. Наличие или отсутствие неприемлемого случая распределения истинностных значений (и, и ⊨ л) можно установить рассмотренным выше табличным методом.

Схема рассуждения: ¬p⊃¬q¸ p ⊨q.

В этой записи:

2 посылки:

1) ¬p⊃¬q

2) p

заключение: q

«⊨» - символ отношения логического следования.

Построение таблицы для схемы умозаключения

(1) число переменных в схеме n = 2 (p ,q);

(2) число строк в таблице вычисляется по формуле 2ⁿ, где n – число (различных) переменных в схеме рассуждения. В нашем случае имеем: число строк= 2²=4.

Получаем следующую таблицу:

			1	3	2
оценки р и q	p	q	¬p	⊃	¬q	p	⊨	q
ϕ1	И	И	Л	И	Л	И		И
ϕ2	И	Л	Л	И	И	И	*	Л
ϕ3	Л	И	И	Л	Л	Л		И
ϕ4	Л	Л	И	И	И	Л		Л

Нумерация указывает последовательность вычислений.

Столбцы под р и q в схеме просто повторяют самые левые столбцы – оценки р и q, поэтому, конечно, можно было бы их и опустить.

Нас интересует, есть ли в таблице «плохой» случай, а именно: когда все посылки истинны, а заключение ложно. Для того, чтобы это определить, надо посмотреть на столбец под импликацией (т.к. он показывает 4 возможные оценки 1-й посылки), столбцы под р и q.

Ответ:

Данная схема рассуждения не является логически корректной, так как при оценке ϕ₂ переменных p и q имеет место:

ϕ₂ (¬p⊃¬q)= и,

ϕ₂ (p)= и,

ϕ₂ (q)= л.

Таким образом, между посылками и заключением нет отношения логического следования.