!Оптика и квантовая механика / Лекции / Лекции неизвестного авторства / набитые лекции / Лекция 05

Лекция 5.

Прошлый раз мы закончили на методе графического сложения амплитуд. Мы каждую зону Френеля разбили на очень маленькие подзоны, равные по площади. Тогда действие каждой из таких подзон можно выразить вектором, причем, т.к. площади наших подзон равны, модули этих векторов также будут равны, и углы между соседними векторами будут одинаковы. Действие первой зоны Френеля характеризуется геометрической суммой векторов, представляющих собой действие каждой из подзон (маленькие вектора в сумме дадут полуокружность). Действие всех зон Френеля выражается вектором, длина которого в 2 раза меньше вектора, выражающего действие первой зоны Френеля (это было показано на прошлой лекции). Можно рассмотреть вектора, характеризующие действие внешней и внутренней половин зон Френеля.

Дифракция сферических волн на круглом отверстии в непрозрачном экране.

Пусть - радиус отверстия, а – расстояние от источника до экрана, b – расстояние от экрана до точки наблюдения. Если в отверстие при данных укладывается целое число зон Френеля, то - радиусу одной из зон Френеля. . Т.е. отверстие оставляет открытыми m зон Френеля.

Амплитуду колебаний в точке р определим графически. Если - четное, то в центре экрана в точке р наблюдается минимальная амплитуда (смотрим на нашу «спиральку»: если мы пройдем по незамкнутой окружности, соответствующей четному числу зон Френеля, то результирующий вектор, характеризующий амплитуду в точке р, будет маленьким). Если нечетное, то, очевидно, максимум.

Можно это показать и аналитически, применяя используемое нами разбиение амплитуды в точке р. Пусть открыто нечетное число зон Френеля:

,

где - последняя открытая нечетная зона Френеля.

Если же число открытых зон Френеля четное, то, применяя то же разложение, получим:

Итак, выражение для амплитуды в точке р будет выглядеть так:

При малых значениях m мало отличается от , поэтому в точке р амплитуда будет либо удваиваться, либо практически обращаться в ноль.

А что будет наблюдаться в других точках экрана? Очевидно (следует из осевой симметрии), дифракционная картина будет иметь вид чередующихся темных и светлых концентрических колец.

Если отверстие открывает большое количество зон Френеля, то чередование светлых и темных полос будет наблюдаться только в узкой области на границе геометрической тени, а внутри этой области освещенность останется практически постоянной, равной , потому что величина .

Дифракция от круглого диска радиуса .

На пути между лучом света и точкой наблюдения поставим круглый непрозрачный диск радиуса . Если диск закрывает m первых зон Френеля, то амплитуда в точке р:

Применяя известное разложение, получим:

Освещенность в других точках экрана имеет вид концентрических окружностей. Это можно отобразить на графике , где r – расстояние от точки р до точки наблюдения.

Т.е. в центре – светлое пятно, так называемое пятно Пуассона. Если - большое, то чередование темных и светлых полос наблюдается только в узкой области на границе геометрической тени. При этом , так что светлое пятно в центре практически отсутствует, освещенность = 0.

Если диск закрывает некоторое дробное число зон Френеля (например, ), то все будет точно так же, амплитуда в точке наблюдения будет = , спираль просто повернется.

Дифракция Фраунгофера.

Многолучевая интерференция.

Рассмотрим интерференцию пучков от источников, расположенных вдоль одной линии на расстоянии d друг от друг, в точке p, находящейся на расстоянии r от источников, (интерференция в дальней зоне). Амплитуды колебаний ото всех источников одинаковы:

.

От первого источника в точке р будет создано колебание

,

начальную фазу выберем равной нулю: . От второго источника:

,

где . Аналогично для N-го источника имеем:

Теперь наша задача – просуммировать эти вклады от различных источников, найти векторную сумму .

Для этого воспользуемся методом векторных диаграмм. Опустим серединные перпендикуляры из середины каждого вектора; они пересекутся в некоторой точке, которая будет центром описанной окружности. Искомая результирующая амплитуда колебания в точке наблюдения . Покажем, что .

как внешний для . Далее, рассмотрим треугольники, образованные серединными перпендикулярами к векторам и , и имеющие общую сторону OD. Эти треугольники, очевидно, равны. Из этого следует, что , тогда получаем, что , а . Значит . Отсюда амплитуда .

Теперь наша задача – найти ОВ. Рассмотрим : OB – гипотенуза, значит

.

Подставляя в выражение для амплитуды, получим:

.

Т.к. , для интенсивности получим следующее выражение:

,

где . При наших выкладках мы пренебрегли тем, что на самом деле, (оптическая разность хода) будет меняться, т.к. будет меняться угол .

Условие главных максимумов.

Воспользуемся методом векторных диаграмм. Максимум будет наблюдаться тогда, когда векторы волн будут расположены вдоль одной линии, т.е. В этом случае , интенсивность .

Условие минимумов.

Минимум интенсивности – когда ломаная линия замкнется; при этом центральный угол будет равен , где …, но ни в коем случае не 0!

Отсюда следует, что , а если или , то - максимум! Тогда получаем уточненное условие для :

В промежутке между двумя главными максимумами находится минимумов, а следовательно вторичных максимумов. Изобразим зависимость интенсивности от для случая (см. рисунок). Для первого вторичного максимума показано его положение на векторной диаграмме.

Найдем отношение между главными и вторичными максимумами:

,

где - длина спирали, - угол, умноженный на радиус.

Отсюда выражаем :

,

тогда амплитуда первого вторичного максимума:

Найдем теперь отношение интенсивностей главного и вторичного максимумов:

,

для второго вторичного максимума аналогично получим: .

Дифракция Фраунгофера на щели.

Рассмотрим дифракцию плоских волн на длинной щели шириной b. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и плоскость экрана параллельны друг другу. Дифракционная картина будет наблюдаться либо на экране, удаленном на бесконечность (на расстояние ), либо находящемся в фокальной плоскости линзы.

Воспользуемся задачей об интерференции света от N источников. Т.е., согласно принципу Гюйгенса-Френеля, волновую поверхность щели

мы заменим маленькими вторичными источниками световых волн числом N, причем . Расстояние между крайними источниками . Тогда , где - оптическая разность хода, - угол между горизонталью и пучками света.

.

Амплитуда в точке р определяется выражением из предыдущего параграфа:

А если , то и, разумеется, . Обозначим - разность хода между крайними точками:

При , , и тогда . Тогда из выражения следует:

.

Обозначим - амплитуда при . Запишем зависимость амплитуды от :

Теперь легко записать выражение для интенсивности:

Проанализируем формулу . Выясним условие минимума интенсивности:

, но , т.е. , .

- условие минимума.

Количество минимумов не может быть бесконечно! Это количество можно определить из условия: , - целая часть, т.к. m должно быть целым; при минимумов вообще не будет, и интенсивность монотонно

убывает от середины к краям.

Наконец, построим график , иллюстрирующий выражение .

5