!Оптика и квантовая механика / Лекции / Лекции неизвестного авторства / набитые лекции / Лекция 21

Лекция №21.

На прошлом занятии было получено утверждение о том, что решение уравнения Шредингера для радиальной составляющей волновой функции имеет следующий вид:

,

При этом волновые функции зависят от трех параметров: главного квантового числа n, орбитального квантового числа l, и магнитного квантового числа m:

Орбитальное квантовое может принимать следующие значения: ; магнитное квантовое число указывает на проекцию момента импульса, может принимать значения:

.

Одному значению энергии соответствует несколько значений волновых функций. Такие состояния называются вырожденными, кратность вырождения (число различных состояний, отвечающих одному значению энергии) в данном случае равно . Для обозначения таких состояний принята следующая терминология:

при говорят, что мы имеем дело с электроном; электрон находится в – состоянии;

- электрон находится в – состоянии;

- электрон находится в – состоянии;

- электрон находится в – состоянии;

- электрон находится в – состоянии;

- электрон находится в – состоянии. Далее состояния нумеруются в соответствии с латинским алфавитом. При обозначении состояния главное квантовое число ставится перед орбитальным, так например состояние с , - обозначается 3Р; вообще для возможны состояния 3S, 3P, 3D.

Правило отбора для атома водорода.

Испускание и поглощение света происходит при переходе электрона с одного уровня на другой, причем . Это можно легко пояснить на основе волновой функции , но мы будем отталкиваться от следующего факта (без доказательства). Фотон, подобно некоторым другим элементарным частицам, обладает собственным моментом импульса, равным , и при испускании фотон уносит из атома этот момент импульса, а при поглощении привносит. Уравнение, которое мы получили из решения уравнения Шредингера, полностью совпадает с ранее полученным в теории Бора, с тем отличием, что в теории Бора n - момент импульса в единицах планка ), а из решения уравнения Шредингера следует, что момент импульса может быть любым неотрицательным целым числом, меньшим либо равным .

В качестве примера рассмотрим переходы, образующие серию Бальмера - это переходы электронов на уровни с энергией, где . У электрона, находящегося в состоянии орбитальное число может принимать только нулевое значение, при это может быть 0 или 1, и т.д. Согласно правилу отбора, изобразим на рисунке возможные переходы электронов. Отметим, что на s – состояние возможны переходы только из р – состояния ().

Вспомним условие нормировки:

, где .

После подстановки получаем:

Сферическая функция нормирована на единицу, тогда и первый из этих интегралов должен быть равен единице. Тогда вероятность нахождения электрона в элементе объема равна:

.

Проинтегрировав это выражение по всему телесному углу (это будет единица), найдем вероятность нахождения электрона на расстоянии от ядра:

.

Тогда величина представляет собой плотность вероятности нахождения электрона на расстоянии от ядра. График этой функции имеет следующий вид:

Заметим, что радиусы боровских орбит совпадают с наиболее вероятными расстояниями электрона от ядра. График выше верен только для состояний, у которых .

Спектры щелочных металлов.

Щелочные металлы можно представить в виде некой основы, которая представляет собой атом инертного газа, плюс протон, плюс внешний валентный электрон, который слабо связан с ядром. Например, литий , имеющий 3 электрона, можно представить себе как гелий , к которому прибавлены протон и электрон; натрий можно представить себе как неон , к которому прибавлены протон и электрон. Спектры щелочных металлов образуются при переходах валентного электрона с одного уровня на другой. При этом валентный электрон находится в центрально-симметричном поле ядра и остальных электронов. Однако это поле уже не является кулоновским, его потенциальная энергия уже не будет равна .

Уравнение Шредингера дает для валентного электрона результат, аналогичный атому водорода, с тем отличием, что уровни энергии будут зависеть не только от главного квантового числа, но и от орбитального квантового числа . Т.е. происходит снятие вырождения по , . С ростом энергия уровней с одинаковыми возрастает. Правило отбора для лития выглядит точно так же, как и для водорода: , ноль недопустим!

Спин электрона.

Тщательные исследования спектров щелочных металлов показали, что каждая из линий является двойной (дублетом). Например, желтая линия натрия (переход электрона с уровня 3Р на 3S) состоит из двух линий: ,

. Такое расщепление уровней удалось объяснить, введя новое квантовое число – спин электрона. Это собственный момент импульса электрона, не связанный с его движением в пространстве. Спиновый угловой момент определяется, подобно орбитальному моменту, спиновым квантовым числом и магнитным квантовым числом (по аналогии с и ), которое может принимать следующие значения:

.

Штерн и Герлах проделали некие опыты, в результате которых оказалось, что для электрона , тогда .

Орбитальный и спиновый магнитные моменты.

Из курса электромагнетизма известно, что электрон, вращающийся вокруг ядра, обладает кроме момента импульса еще и магнитным моментом , который равен

,

где – круговой ток, , - период обращения электрона, - площадь контура. В гауссовой системе выражение имеет вид:

.

После подстановки окончательно получаем выражение для магнитного момента:

.

Из и видно, что магнитный момент, который связан с орбитальным движением, связан с орбитальным моментом импульса следующим соотношением:

,

В квантовой механике орбитальный момент импульса измеряется в : , тогда, с учетом того, что каждой величине мы можем поставить в соответствие оператор, запишем:

,

где - магнетон Бора; ; Эрг – единица измерения энергии, близка по своему значению к Джоулю; Гс (Гаусс) – единица поля, 1 Гс = Тл.

Итак,

,

где - угловой момент. Найдем теперь допустимые значения проекции магнитного момента на ось z:

,

где принимает значения от до . Т.е. проекция магнитного момента импульса на ось z тоже квантуется. Со спином электрона s (угловым моментом) также связан магнитный спиновый момент :

.

Т.е. коэффициент связи между магнитным и угловым моментом в два раза больше, чем для орбитального момента. Это первоначально были данные, полученные из опыта, однако в дальнейшем все эти данные подтвердились. Объяснение лежит в релятивистской квантовой теории, основанной Дираком.

Резюме: Спин электрона есть свойство одновременно и квантовое, и релятивистское. Наличие у электрона спина и его магнитного момента является таким же неотъемлемым свойством электрона, как наличие у него заряда и массы. Спином обладает не только электрон, но и другие квантовые частицы (протон, нейтрон…). Но собственный магнитный момент других элементарных частиц существенно меньше, чем у электрона, потому что масса у них больше.

Объяснение дублетной структуры спектра щелочных металлов.

Полный угловой момент электрона складывается из орбитального момента и спинового момента по правилам, полученным ранее:

.

может принимать значения и (потому что ). При ; при получаем два значения: . Они соответствуют двум возможным взаимным ориентациям орбитального и спинового момента: значение соответствует случаю, когда сонаправлен с , - когда противонаправлен .

С механическими моментами l и s связаны магнитные, которые взаимодействуют друг с другом, как два круговых тока или две магнитных стрелки. Причем энергия их взаимодействия (один круговой ток находится в поле другого кругового тока, оба создают магнитное поле):

Из курса электромагнетизма известно, что энергия взаимодействия магнитного момента с внешним магнитным полем:

.

Энергия этого взаимодействия зависит от взаимной ориентации спинового и орбитального моментов и (такое взаимодействие называется спин-орбитальным). Следовательно, состояния с различными обладают различной энергией, поэтому состояние 3Р для натрия расщепляется на два уровня (при получаем линию , при получаем

линию ), обладающие различными энергиями – дублет. Состоянию же 3S соответствует одно значение , и расщепления не происходит. Указанное расщепление испытывают и все другие состояния, кроме s. Эти состояния принято обозначать следующим образом:

где - верхний индекс – равен , а ; - состояние орбитального квантового числа. Для квантового числа полного момента существует следующее правило отбора:

.

Например, переход невозможен, поскольку (здесь - верхний индекс – равен , ; соответствует ; - нижний индекс). Такой же структурой (дублет) обладают и другие атомы, в частности, и атом водорода.

5