!Оптика и квантовая механика / Лекции / Лекции неизвестного авторства / набитые лекции / Лекция 20

Лекция 20. Момент импульса в квантовой механике.

Итак, на прошлой лекции мы приступили к рассмотрению момента импульса в квантовой механике. Мы получили, что проекция импульса на ось может принимать только дискретный ряд значений: , где - это орбитальное квантовое число, или максимальное возможное значение проекции момента импульса на ось .

Также мы установили, что . Это есть следствие того обстоятельства, что операторы проекции момента импульса, то есть , , между собой не коммутируют и не могут быть одновременно измерены. Еще раз следует повторить, что момент импульса нельзя представить в виде вектора, хотя можно представить в виде вектора импульс и расстояние.

Операторы и коммутируют между собой, а значит могут обладать общей системой собственных функций:

Как мы уже выяснили, - это сферическая функция, которая задается двумя углами – орбитальным и азимутальным:

, где

Также вспомним условие нормировки:

Выведем момент импульса для момента с определенными величинами . Из квантовой механики нам известно что можно лишь найти данную величину с некоторой вероятностью, но можно точно найти ее среднее значение:

Из прошлой лекции нам известны следующие выражения:

Итак при определенных и :

, при этом имеет четкую направленность – вдоль оси .

Сложение моментов

Рассмотрим систему из двух частиц, с моментами импульса и .

У одной частицы орбитальное квантовое число равно .

Аналогично для второй частицы: .

Вопрос сложения моментов импульса состоит из двух частей:

1. Из выявления закона сложения компонент

2. Из вопроса о допустимых значения числа при заданных значениях и .

Что касается закона о сложении компонент, то он очевиден:

Для операторов квадрата моментов такого простого соотношения нет.

Каждому значению соответствует значений (). Наибольшее возможное значение проекции – это .

Поэтому, в нашей системе получается наибольшее возможное квантовое число , причем оно возможно лишь в одном случае, когда и .

Теперь рассмотрим состояние системы, когда . Такое состояние системы возможно лишь в двух случаях:

может принимать ряд значений от до . В нашем случае все состояния кроме состояния с максимальным орбитальным числом характеризуются двумя состояниями(смотри выше). Поэтому нужно определить, какие же значения может принимать результирующее квантовое число.

Поступим следующим образом:

Берем и вычеркиваем все состояния компонент, соответствующие максимальному значению этого состояния. Аналогично поступаем для состояния

.Останавливаем вычеркивание, когда все компоненты вычеркнуты. После этого посмотрим возможный ряд значений для результирующего орбитального квантового числа нашей системы из двух частиц:

. (1)

Итак, формула (1) полностью разрешает второй вопрос.

Полученное правило сложения моментов позволяет складывать любое количество моментов, путем его повторного применения.

Атом водорода.

Рассмотрим водородоподобный атом, состоящий из неподвижного ядра с зарядом и электрона (подвижного). При - это атом водорода.

При этом потенциальная энергия в система Гаусса имеет вид:

.

Запишем уравнение Шредингера для этой системы:

(2)

Поле, в котором движется электрон является центрально-симметричным, поэтому целесообразно воспользоваться сферической системой координат. Представим оператор Лапласа в сферический координатах, и из (2) получим:

(3)

Если ввести оператор:

, то (3) примет вид:

При движении в центрально-симметричном поле момент импульса сохраняется при движении, поэтому будем рассматривать состояния , которые имеют определенные значения. Эти операторы коммутируют друг с другом, и мы ищем общую собственную функцию этих операторов.

Требование, чтобы была собственной функцией операторов , определяет ее зависимость от углов и . Ищем решения (3) в виде (4). Подставим (4) в (3) и получим выражения:

.

Задача о нахождении функции и значений решается до конца, а не аналитически. Это решение однозначное и непрерывное.

При любых положительных ( соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра) . То есть результат, полученный нами, полностью совпадает с результатом в теории Бора.

Собственная функция (4) содержат три целочисленных параметра . Параметр называется главным квантовым числом, он совпадает с номером уровня энергии. Орбитальное квантовое число не превышает . В этом и есть отличие от теории Бора, здесь квантовое число и орбитальное может быть любым, а у Бора . Дальше:. Энергия зависит только от главного квантового числа, каждому значению соответствует несколько собственных функций . Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными. Число различных состояний, отличающее данное значение энергии, называется кратностью вырождения.

Найдем кратность вырождения для данного значения :

3