!Оптика и квантовая механика / Лекции / Лекции неизвестного авторства / набитые лекции / Лекция 19_no_sound

Лекция 19

Момент импульса в квантовой механике

(1)

Далее будем пользоваться моментом импульса без постоянной Планка, то есть момент импульса L нормируется по постоянной Планка . Запишем правила коммутации:

(2)

! В отличие от оператора импульса , компоненты оператора момента импульса не коммутируют и поэтому не могут быть одновременно измерены.

(3)

(4)

Из формул (2) и (4) следует, что квадрат момента импульса может быть одновременно измерен (то есть может иметь определенное значение) только с одной компонентой . В качестве этой составляющей берут , потому что этот оператор в сферической системе координат будет очень просто выглядеть:

Введем также операторы:

(5)

Для них справедливы следующие правила коммутации:

(6)

Тогда квадрат момента импульса можно будет расписать следующим образом:

(7)

Собственное значение момента импульса

(1)

Для того, чтобы собственная функция была однозначной, она должна быть периодична по с периодом .

, то есть

следовательно значение момента импульса может принимать только дискретные целые значения, причем все это уже в единицах . Тогда

(2), где нужен для выполнения нормировки.

Собственное значение оператора

Отметим, что

Из этого равенства следует, что левая часть уравнения неотрицательна. При данном значении и при всех значениях (следовательно без ^) должно выполняться неравенство:

Следовательно, возможные значения ограничены верхним и нижним пределами.

Обозначим .

Теорема: Пусть - собственная функция оператора , то есть она удовлетворяет уравнению . Тогда функции являются собственными функциями оператора , отвечающего собственными значениями , то есть

(1)

Доказательство:

■.

Из теоремы следует, что , то есть функция является собственной функцией, отвечающей значению .