Лабораторная работа 4

Процессы установления тока при зарядке и разрядке конденсатора

Цель работы. Исследование зависимостей от времени тока и напряжения на конденсаторе при его зарядке и разрядке через активное сопротивление.

Приборы и оборудование.Коммутационная плата с конденсаторами, сопротивлениями, полупроводниковым диодом и переключателями, источник постоянного напряжения, генератор прямоугольных импульсов, цифровой вольтметр, цифровой амперметр, электронный осциллограф, секундомер.

Теоретическая часть

Пусть в некоторый момент времени обкладки заряженного конденсатора соединяют проводником, например, переводят ключ из положения 1 в 2 в схеме, изображенной на рис.1. Конденсатор начинает разряжаться и через проводник течет ток .

Рис.1. Электрическая схема для изучения процессов разрядки-зарядки конденсатора

Считая ток положительным, когда он течет от "положительной обкладки" конденсатора к отрицательной, запишем

где , q и u - мгновенные значения тока, заряда "положительной обкладки" и разности потенциалов между обкладками, C - емкость конденсатора, - сопротивление проводника. Знак "минус" в формуле для тока означает уменьшение заряда конденсатора при протекании положительного тока. Исключая из этих уравненийиu, получим

.

Разделяя переменные

и интегрируя, найдем

,

где q₀ - начальное значение заряда конденсатора. Следовательно, заряд конденсатора уменьшается со временем по экспоненциальному закону:

. (1)

Постоянная

,

имеющая размерность времени, называется временем релаксации. Понятен физический смысл этой величины: через время, равное  заряд конденсатора убывает в e раз.

Дифференцируя (1), находим закон изменения тока во времени:

,

где - начальное значение тока,- начальное значение напряжения на конденсаторе.

В процессе разрядки конденсатора в резисторе выделяется тепло. Количество теплоты, выделившееся при полной разрядке конденсатора, равно его начальной энергии:

.

Отметим, что с увеличением сопротивления разрядка конденсатора будет происходить медленнее, однако общее количество выделившейся на резисторе теплоты при полной разрядке конденсатора не зависит от сопротивления.

Аналогично решается задача о зарядке конденсатора. Пусть в некоторый начальный момент времени к незаряженному конденсатору подключают источник ЭДС , например, переводят ключ из положения 2 в 1 в схеме, изображенной на рис.1. Конденсатор начинает заряжаться через сопротивление. Протекающий через источник ток приводит к накоплению положительного заряда на обкладке, подключенной к положительному полюсу источника питания, на другой обкладке накапливается отрицательный заряд. Считая ток в проводнике положительным , когда он направлен от "+" источника ЭДС, запишем

.

Напряжение на конденсаторе в процессе его зарядки увеличивается, а напряжение на резисторесоответственно уменьшаться. По закону Ома

(предполагается, что внутреннее сопротивление источника ЭДС пренебрежимо мало). Из этих уравнений следует

.

Полученное неоднородное дифференциальное уравнение сведется к однородному, если его записать в виде

.

Решая это уравнение, найдем

,

где . Значение постоянной интегрированияB определим из условия, что в начальный момент времени конденсатор не заряжен: q = 0 при t = 0. Это дает , и, следовательно,

.

Для тока получаем

.

В начальный момент времени ток максимален и равен . Приток стремится к нулю, а заряд – к предельному значению.

В процессе зарядки конденсатора источник ЭДС совершает работу

,

а на резисторе выделяется тепло

.

В результате энергия конденсатора возрастает на величину

.

Приведенные выше решения получены в предположениях, что мгновенное значение силы тока одно и то же во всех поперечных сечениях провода, соединяющего обкладки конденсатора, а мгновенное значение электрического поля такое же, как в электростатике при тех же зарядах на обкладках конденсатора. Токи и поля, удовлетворяющие этим условиям, называются квазистационарными. Приближение квазистационарных токов перестает быть справедливым при очень быстрых изменениях тока и электрического поля. Во многих практически важных случаях отклонение от квазистационарности не существенно.

Инерционность процессов зарядки и разрядки конденсатора лежит в основе их широкого практического использования, в частности, при преобразовании переменного тока в постоянный, для разделения постоянной и быстропеременной составляющих тока, подавления помех и так далее.

Вместе с тем, наличие емкости между различными проводниками, входящими в состав электронных приборов (диодов, транзисторов, микросхем на их основе), ограничивает их быстродействие. Для увеличения быстродействия цифровой схемы (например, микропроцессора) необходимо уменьшать длительность импульсов тока и напряжения, которые должна "обрабатывать" схема. Однако продолжительность импульсов не может быть сделана меньше постоянной времени  RC (и- эффективные входные сопротивление и емкость схемы)поскольку на очень "короткие" импульсы схема не будет успевать реагировать.