2. Постановка задачи
Рассматривается кольцевая пластина, в отдельных кольцевых сечениях которой установлены опоры, препятствующие осевым перемещениям этих сечений. Толщина пластины h и физико-механические характеристики материала (модуль упругости Е, коэффициент Пуассона , температурный коэффициент линейного расширения ) в общем случае изменяются вдоль радиуса пластины, и является заданными функциями координаты r.
На рассматриваемую пластину может действовать следующая система внешних нагрузок:
распределенная по срединной плоскости пластины нагрузка q, нормальная к этой плоскости, МПа;
распределенная по срединной поверхности пластины радиальная нагрузка
,
МПа;равномерно распределенная по окружности моментная нагрузка m, Н∙мм/мм;
равномерно распределенная по окружности поперечная нагрузка, равнодействующая которой равна Р, Н;
Схема нагружения пластины представлена на рис.1.2. Указаны положительные направления составляющих внешней нагрузки.
Рис.2.1. Схема нагружения пластины
В
общем случае пластина может быть нагрета
до температуры 
(z
– расстояние точки пластины от срединной
плоскости). Температура срединной
плоскости изменяется вдоль радиуса по
заданному закону 
.
По толщине пластины температура
изменяется по линейному закону с заданным
коэффициентом пропорциональности 
,
где 
–
перепад температуры по толщине пластины.
Условимся считать прогибы пластины под действием поперечной нагрузки малыми по сравнению с основными размерами пластины. Вследствие малости прогибов и отсутствия радиальной нагрузки можно пренебречь радиальными смещениями точек срединной плоскости пластины.
Теория тонких пластин с малыми прогибами строится на следующих основных допущениях:
точки пластины, лежащие до нагружения на нормали к срединной плоскости, остаются в процессе изгиба на нормали к ее срединной поверхности (гипотеза прямых нормалей);
нормальными напряжениями в направлении, поперечном к срединной плоскости пластины, т.е. давлением между слоями пластины, допустимо пренебрегать (так как они весьма малы в случае поверхностной распределенной нагрузки, или носят локальный характер – создается узкая область контактных напряжений – в случае сосредоточенных нагрузок);
в срединной плоскости пластинка не испытывает деформаций. При изгибе эта плоскость остается нейтральной.
Первые два допущения носят название гипотез Кирхгофа-Лява.
Радиальные и кольцевые нормальные напряжения, возникающие в тонкой жесткой пластине под действием указанной выше (рис.1.2) осесимметричной нагрузки, распределяются по толщине пластины по линейному закону и в точках срединной поверхности равны нулю, как показано на рис.1.3.
Рис.2.2. Внутренние усилия и напряжения в пластине
Статическими
эквивалентами внутренних нормальных
сил, приходящихся на единицу длины
кольцевого и радиального сечений,
являются кольцевой и радиальный
изгибающие моменты 
и 
(Н∙мм/мм). На
рис.1.3 показаны их положительные
направления. Ввиду симметрии изгибающие
моменты являются функциями только
координаты r.
Напряжения в пластинах достигают наибольшей величины в точках верхней и нижней поверхностей и связаны с изгибающими моментами соотношениями:
, (2.1)
. (2.2)
В формулах (2.1) и (2.2) верхние знаки относятся к верхней поверхности пластины, а нижние – к нижней.
Решение задачи о расчёте напряжённо-деформированного состояния рассматриваемых конструкций строим на основе теории тонких пластин в геометрически и физически линейной постановке: полагаем, что перемещения точек пластины малы и справедлив закон Гука. Также для пластины должны быть справедливы гипотезы Кирхгофа-Лява.