Основы деформационной теории пластичности (теория малых упругопластических деформаций)

1. Основные сведения по теории напряжений

Выделим элементарный объем нагруженного тела в виде параллелепипеда. Тело не обязательно упругое. (!)

Напряженное состояние характеризуется нормальными напряжениями_x , _y , _z и касательными _xz , _xy , _yz , _yx , _zx , _zy – тензор напряжений.

Закон парности касательных напряжений:

_xz = _zx

_xy = _yx

_yz = _zy .

Можно показать, что в каждой исследуемой точке напряженного тела существует такая система осей X, Y, Z, в которой касательные напряжения равны нулю. Другими словами, среди множества осей, которые могут быть проведены через исследуемую точку, существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых касательные напряжения отсутствуют. Эти оси называются главными осями напряженного состояния и обозначаются цифрами 1, 2, 3. Нормальные напряжения в направлении этих осей называются главными напряжениями ₁ => ₂ => ₃ .

Связь между нормальными и касательными напряжениями изображается на круговых диаграммах.

Весь тензор напряжений для заданного напряженного состояния хорошо демонстрируется на круговой диаграмме напряжений (Круги Мора).

Главные касательные напряжения действуют в площадках, равнонаклоненных к двум главным площадкам.

Например:

Все соотношения теории напряжений получены только из условий статики, независимо от конкретного материала.

Работает принцип начальных размеров => механика малых деформаций.

Интенсивность напряжений:

( = _экв по энергетической теории прочности).

Для одноосного напряженного состояния _i=.

Октаэдрическое касательное напряжение (в площадке, одинаково наклоненной к главным осям).

Интенсивность касательных напряжений:

2. Основные сведения из теории деформаций.

Деформированное состояние напряженного тела характеризуется линейными деформациями _x,_y,_zи угловыми деформациями (углами сдвига) _xy,_yz,_zx.

Среди множества осей, которые могут быть проведены через исследуемую точку, существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформации отсутствуют, и, следовательно, углы между этими осями при деформации не изменяются. Эти оси называются главными осями деформированного состояния и обозначаются цифрами 1, 2, 3. Линейные деформации в направлении этих осей называются главными линейными деформациями ₁₂₃.

Связь между угловыми и линейными деформациями можно показать при помощи круговой диаграммы деформаций.

Полагаем, что деформации малы.

Из диаграммы видно, что наибольшие угловые деформации имеют место для направлений, лежащих в главных плоскостях и составляющих угол 45 с главными осями.

Эти наибольшие угловые деформации называются главными угловыми деформациями.

( = _max)

Анализ деформированного состояния основан на чисто геометрических соотношениях. Не зависит от механических свойств материала. Требуется сплошная среда.Механика малых деформаций

Интенсивность деформаций:

Для одноосного состояния: , гдеили

Октаэдрическая угловая деформация (в перпендикулярном направлении, составляющем равные углы с тремя главными осями).