§5. Интерполирование поверхностей

5.1. Интерполирование по однократным узлам. Билинейные поверхности

Кривые, как плоские, так и пространственные, являются функциями одного параметра. Поверхности всегда описы-ваются двумя.

Рассмотрим вначале интерполирование по однократным узлам и найдем двумерный аналог полинома Лагранжа. Пусть на плоскости Oxy задана прямоугольная сетка (x_i ,у_j ) (i = 0,1 ,..., n; x_i  x_k при i k, j = 0,1 ,..., m; y_j  y_s при j s) . В узлах сетки заданы значения координаты по оси z некоторой поверхности z ( x _i , у _j ) = z _{i j} . Необходимо

64

построить квадратичную форму L(x,у) минимально возможной степени, для которой L( x_i ,у_j )=z_{i j} ,(i = 0,1 ,..., n; j = 0,1 ,..., m) , т.е. в узлах сетки её значения равны величинам z(x_i , у_j ).

Решение задачи существует и единственно. Так как об-щее число геометрических условий по оси х равно (n+1), а по оси у – (m+1), то искомая форма будет иметь степени по этим осям, соответственно, не выше n и m . В скалярном виде её можно представить следующим образом:

( 2.20)

где Ф _i (x), Ф _j (y) – функции Лагранжа по переменным х,у , построенные по соответствующим координатам узлов ( x_i , у_j ) , (i = 0,1 ,..., n; j = 0,1 ,..., m). Назовём её квадратичной формой Лагранжа.

В векторном виде квадратичную форму (2.20) можно представить как:

L _n,m (x,y) = Ф^Т(х) ZФ(y), (2.21)

где Z – прямоугольная матрица ( (n+1)  (m+1) ), содержащая значения z _{i j} , (i = 0,1 ,..., n; j = 0,1 ,..., m) :

Ф^Т(х) = ( Ф₀ (х) , Ф₁ (х) , . . . , Ф_n (х) ) - вектор-строка значений функций Лагранжа по оси х;

Ф(y) = ( Ф₀ (y) , Ф₁ (y) , . . . , Ф_m (y) ) - вектор-столбец значений функций Лагранжа по оси у.

65

Рассмотрим интерполирование на прямоугольном участ-ке [x₀,x₁] [у₀, y₁]. В его граничных точках заданы по одному геометрическому условию: z(x₀ ,у₀ )= z₀₀ , z(x₁ ,у₀ ) =z₁₀ , z(x₀ , у₁)= z₀₁ , z(x₁ ,у₁) =z₁₁ . Минимальные степени квадратичной формы S(x,y) по переменным х,у равны еди-нице. Явное решение для S(x,y) проще всего задать в век-торной форме при помощи функций Лагранжа:

S (x,y) =Ф(x)^Т ZФ(у); (2.22 а)

где Ф(x)=((x₁ –x) / (x₁ -x₀), (x-x₀) / (x₁ -x₀ ));

Ф(у)=((y₁ –y) / (y₁ -y₀), (y-y₀) / (y₁ -y₀));

Переходя, как и в одномерном случае, к безразмерным нормированным переменным t_х= (x - x₀)/(x₁ - x₀ ) и t_у = (у - y₀)/(y₁ - y₀ ) и используя матрицу М_Л , решение для S(x,y) можно представить в виде:

S(t_x,t_y) = (M_ЛТ_х¹) Z (M_ЛТ_y¹), (2.22 б)

где (М_ЛТ_х¹)^Т – вектор – строка,

В том случае, если участок поверхности интерполируется по четырём произвольным однократным узлам (не обра-зующим прямоугольник), то такую поверхность, называют билинейной, поскольку она линейна в отдельности по каждой переменной (как и поверхность (2.22)). Рассмотрим билинейную поверхность более подробно. Допустим, она строится по точкам {P_j} = {P₁,P₂,P₃,P₄}. Для пара-метров u и v вводят локальную систему координат, начало которой помещают в точке P₁, ось u направляют отP₁ к P₂ , а ось v - отP₁ кP₃ Масштабы по осям u и v вводят таким образом, чтобы значения u=1 и v=1 пара-метры получали в точкахP₂,P₃.

Математическое задание координат точек, лежащих на осях и внутри поверхности, имеет вид:

66

 S(u,v) =P₁ (1-u)(1-v) +P₂ u(1-v) +P₃ v(1-u) +

+P₄ u v, где 0  u, v 1. (2.23)

При этом:S(0,0)=P₁;S(1,0)=P₂;S(0,1)=P₃;S(1,1)=P₄.

При фиксации одного из параметров происходит сниже-ние размерности объекта (поверхности) на единицу и он превращается в линию (линию уровня) :

S(u,v₀ =const) – линия соответствующая уровню v= v₀;

S(u₀ =const,v) – линия соответствующая уровню u= u₀.

Поскольку билинейные поверхности линейны в отдель-ности по каждому параметру, то их линии уровня являются отрезками прямых (Рис 2.3) .

Рис.2.3

67

Функция Q на языке Autolisp для построения линий уровня поверхности, интерполированной по 4 точкам, и их проекций на плоскость z=0 , а также соответствующая отладочная функция приведены в Приложении.