§6. Виды поверхностей

1.Цилиндрические поверхности. Образованы линиями, параллельными некоторой оси. Путем поворота и сдвига системы координат уравнение цилиндрической поверхности всегда можно представить в таком виде, когда одна из координат (вдоль оси цилиндра) отсутствует. Например, если ось цилиндра параллельна оси z, то уравнение поверхности примет вид:

f(x,y)=0. (1. 12)

Кривая f(x, y)=0 , которая лежит в плоскости z = 0 , называется направляющей цилиндрической поверхности.

Рис.1.8 Рис.1.9

Пример 1. Уравнение кривой имеет вид:

В 3-мерном пространстве поверхность является цилиндром с направляющим эллипсом в плоскости z = 0 и осью, параллельной оси z (Рис.1.8).

2.Конические поверхности. Образованы прямыми проходящими через некоторую точку (x₀ , y₀, z₀), которая

21

является вершиной конуса. Функция f(x, y, z) обладает следующим свойством:

f(k(x-x₀ ), k(y -y₀ ),k(z-z₀))=kⁿ f(x-x₀ ,y-y₀ ,z-z₀ ). (1.13)

Число n называется степенью конической поверхности.

Пример 2.Уравнение конуса второй степени

Вершиной является начало координат (0,0,0) (Рис.1.9).

3. Алгебраические поверхности порядка n. К ним относят поверхности, уравнения которых могут быть представлены в алгебраической форме степени n.

а)Алгебраические поверхности 1 порядка

а₁ х + а₂ у + а₃ z + а₄ = 0

при а₁²+ а₂²+ а₃²  0 . (1.14)

Уравнение задаёт плоскость в 3-мерном пространстве.

б) Алгебраические поверхности 2 порядка.

а₁₁ х²+а₂₂ у²+а₃₃ z²+2а₁₂ хz+2а₁₃ xz+2а₂₃ yz+2а₁₄ х+2а₂₄ у+2а₃₄ z+а₄ =0

при а₁₁²+а₂₂²+а₃₂²+а₁₂²+а₁₃²+а₂₃²0. (1.15)

В зависимости от значений коэффициентов уравнение может описывать следующие поверхности:

1) эллипсоид (Рис. 1.5); 2) параболоид (Рис. 1.6);

3) гиперболоид; 4) цилиндр (Рис. 1.8);5) конус (Рис. 1.9).

4.Трансцедентные поверхности.

Такими являются поверхности не представимые в алгебраическом виде.

Пример 3 . sin(xy) + z = 0.

§7. Основные способы задания плоскостей

1. Канонический вид.

ax+by+cz+d=0 (1.16)

2. Плоскость, проходящая через заданную точку Po (xo,

22

yo, zo) перпендикулярно вектору V = (a, b, c). Условие перпендикулярности имеет вид: (PP₀, V) = 0. Раскрывая скалярное произведение получим: a (x-x₀) + b (y-y₀) + c (z-z₀) + d = 0. В каноническом виде: ax + by + cz + d = 0, d = - ax₀ - by₀ - cz₀ .

3. Нормальная форма. Может применяться для плоскостей, не проходящих через начало координат. Уравнение имеет вид:

xcosα + ycosβ + zcosγ –P = 0, (1.17)

где Р - модуль перпендикуляра N, опущенного из начала координат (0,0,0) на рассматриваемую плоскость,

α, β, γ – углы вектора N с осями x, y, z.

Допустим, плоскость задана в каноническом виде и необходимо выразить ее в нормальной форме. Для косинусов углов α, β, γ справедливо условие

cos²α + cos²β +cos²γ = 1.

Оно будет всегда выполнено в выражении (1.16), если все его слагаемые умножить на нормирующий множитель .

Модуль нормали при этом будет следующим:

4. Плоскость, проходящая через три точки P₀(x₀,y₀,z₀), P₁(x₁,y₁,z₁), P₂(x₂,y₂,z₂), не лежащие на одной прямой. Если обозначить координаты текущей точки плоскости через P=(x, y, z), то условие принадлежности векторов P₁P,P₁P₂,P₁P₃ одной плоскости сводится к равенству нулю их смешанного произведения:

(1.18)

23

5. Параметрическое задание плоскости, проходящей через три точки P₁(x₁,y₁,z₁), P₂(x₂,y₂,z₂), P₃ (х₃,y₃,z₃) . Рассмотрим пространственный треугольник, заданный точками {P_j}={P₁,P₂,P₃} (Рис 1.10).

Рис 1.10

Параметры u и v введем так, чтобы они образовывали на плоском треугольнике как бы локальную систему координат. Начало её в точкеP₁ , ось u направлена отP₁ кP₂ , ось v - отP₁ кP₃ . Значения u и v нормированы таким образом, что в точкахP₂ иP₃ они принимают значение, равное 1. Математическое задание координат точек, лежащих на сторонах и внутри треугольника, имеет вид:

24

S(u,v)= P₁ (1-u-v) +P₂ u +P₃ v, (1.19)

при ограничениях на параметры: u + v  1; u, v  0.

В вершинах треугольника:S (0,0)=P₁; S(1,0)=P₂; S(0,1)=P₃ .

Для визуализации поверхностей на них проводят линии уровня, которые задаются уравнениями:

S(u,v=const) – линия соответствующая уровню v;

S(u=const,v) – линия соответствующая уровню u.

Единичные нормали к треугольнику, заданному тремя точками, проще выразить с помощью направляющих векторови. Из условий перпендикулярностис,:

;

получаем два возможных решения

где

; ; .

Нормаль образует правую тройку с,,- левую.

Плоскость, проходящая через , ,, задается аналогично треугольнику с той разницей, что. Направляющие векторы и нормали к ней определяются аналогично.