1.2 Диметрические проекции

Центр проецирования диметрических проекций находится на бесконечности, равноудаленной от двух из осей и неодинаково удалённой от третьей, поэтому два показателя искажения равны друг другу и не равны третьему, который не равен нулю. Коэффициент, равный отношению третьего показателя к двум первым, обозначим через k. Рассмотрим проекцию, в которой точка равноудалена от осей x, у . При этом U = V, а W = kV.

Для определения коэффициентов искажения составим систему из трех уравнений, добавив дополнительное усло-вие: U² + V² + W² = 2.

U= V;

W = kV;

U² + V² + W² = 2.

Решением системы являются следующие значения:

. (7.3)

Рассмотрим определение матрицы диметрического проецирования M_д(U, V, W), соответствующей заданному коэффициенту k (и коэффициентам U, V, W (7.3)). Ее можно представить в виде произведения двух матриц поворота (вокруг x (M_nx(φ)), вокруг y (M_ny(ξ))) и матрицы ортого-нального проецирования на плоскость z=0 (M_оpz (0)):

133

M_д(U, V, W) = M_оpz (0)M_ny(ξ) M_nx(φ).

Перемножая матрицы M_ny(ξ) и M_nx(φ), получим :

cosξ 0 sinξ 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 cosφ -sin φ 0

- sinξ 0 cosξ 0 x 0 sin φ cosφ 0 =

0 0 0 1 0 0 0 1

cosξ sin φ sinξ cosφ sinξ 0

0 cosφ -sin φ 0

= - sinξ sin φ cosξ cosφ cosξ 0 .

0 0 0 1

После ортогонального проецировании итоговая матрица преобразования примет вид:

cosξ sin φ sinξ cosφ sinξ 0

0 cosφ -sin φ 0

M_д(U, V, W) = 0 0 0 0 .

0 0 0 1

С помощью этой матрицы преобразования единичные векторы по оси х е_x = [1 0 0 1], по оси у е_y = [0 1 0 1], по оси z е_z=  0 0 1 1 , преобразуются к виду :

134

cosξ sin φ sinξ

0 cosφ

е_x' = M_де_x = 0 ;е_y ' = M_д е_y = 0 ;

1 1

cosφ sinξ

- sin φ

е_z ' = M_де_z = 0 .

1

Поскольку по определению U = е_х / е_х, V = е_y /еl_y , W =е_z / е_z , то должны выполняться следующие условия:

(е_x') ² = cos ² ξ = U ²;

(е_y') ² = sin ²φ sin ²ξ + cos ²φ = V ²;

(е_z') ² = cos²φ sin²ξ + sin²φ = W ² .

Полученная система содержит три уравнения с двумя неизвестными. Из первого уравнения следует:

ξ = arccos U = arccos (7.4а)

135

Подставляя найденное значение во второе и третье урав-нения, получим :

cos2φ = (V ² – W ²)/ cos ²ξ =(V ² – W ²)/ U ² = 1 – k²;

φ = 0.5* arccos[(V² - W²)/ U²]= 0,5*arccos(1-k²). (7.4 б)

На практике наиболее употребительна диметрическая проекция при k = 1/2. Подставляя в решение системы для коэффициентов искажения , получим:

(7.5)

Соответствующие значения углов ξ и φ равны :

ξ = arccos 2√2 / 3, φ = ½ arccos (3/4) . (7.6)

На Рис 7.1 показана диметрическая проекция при k=1/2

единичного куба, у которого одна из вершин совпадает с