Задачи. Записать прямые и обратные матрицы элемен-тарных преобразований, при помощи которых можно осу-ществить следующие действия:

1. увеличение координат x на 10, уменьшение y на 20, z - на 40;

2. приращение на вектор (∆x,∆z)=(10,-10) в плоскости 0xz;

3. отражение относительно плоскости Oxz;

4. отражение относительно оси О z;

5. увеличение координат x - в 10 раз, z - в 20 раз - в пространстве;

6. уменьшение координат y в 2 раза, увеличение координат z в 3 раза в плоскости 0yz;

7. поворот на угол (-45°) вокруг оси x в плоскости 0yz;

8. поворот на угол 30° вокруг оси y в пространстве.

§ 4. Составные линейные преобразования

Любое линейное преобразование можно представить в ви-де последовательного выполнения (композиции) элемен-тарных линейных преобразований. Допустим, преобра-зование Т состоит в последовательном выполнении элемен-тарных преобразований Т₁, Т₂, Т₃. В этом случае итоговая матрица преобразования Т равна произведению:

М_Т = М_Т3∙ М_Т2∙ М_Т1 .

В общем случае при Т = Т₁∙Т₂∙…∙Т_n,

М_Т = М_Тn∙ М_Т(n-1)∙…∙ М_Т1 .

Для того,чтобы найти матрицу преобразования, обратного к составному Т = Т₁∙Т₂∙…∙Т_n (такую, что М_Т-1∙М_Т = Е), необходимо М_Т последовательно умножить слева на М ^–1_Тn∙ М ^–1_Т(n-1)∙…∙М ^-1_Т1. При этом получим:

М ^-1_Т = М ^-1_Т1∙М ^-1_Т2∙…∙М ^-1_Тn .

Пример. Необходимо построить плоское линейное преобразование Т, осуществляющее поворот точек вокруг центральной точки Р(x₀ , y₀ ) на заданный угол φ (Рис.6.5).

126

Рис.6.5

Решение.

Данное преобразование можно представить в виде компози-ции элементарных следующим образом:

1)сдвиг всех точек плоскости на вектор (-x₀,-y₀) (при этом Р₀ переместится в начало координат);

2) поворот на угол φ вокруг оси z;

3) сдвиг на вектор (x₀, y₀), при которомР₀ займет свое прежнее положение.

Найдем матрицу Т:

М_Т = М_сд(x₀, y₀) ∙М_пz(φ)∙ М_сд (-x₀, -y₀) =

127

Данный пример иллюстрирует некоммутативность умно-жения матриц. При φ≠0

М_Т = М_сд (-x₀,- y₀) М_пz(φ)∙М_сд(x₀, y₀) ≠ М_сд(-x₀ ,- y₀)∙М_сд(x₀, y₀)∙М_пz(φ) = М_пz(φ) .

Задачи.

Выразить через матрицы элементарных линейных преобразований прямые и обратные матрицы следующих составных преобразований:

1) поворот на угол 60° вокруг оси y точкиР₀^*, симмет-ричной относительно плоскости 0yz исходнойР₀ (x₀ ,y₀ ,z₀ );

2) увеличение в 0,5 раза всех координат точкиР₀ (x₀ ,y₀ ,z₀ ); предварительно повернутой вокруг оси x на угол 30° и вокруг z - на 45°;

3) сдвиг координат точкиР₀ (x₀ , y₀ , z₀ ), симметрично отраженной относительно начала координат 0, при котором точка (1, 2, 3) переходит в точку (3, 2, 1).

§ 5. Линейные преобразования каркасных моделей

Каркасные модели реальных объектов представляют со-бой наборы отрезков, соединяющих заданные пары точек. При выполнении линейных преобразований объектов изме-няются только координаты точек (геометрическая инфор-мация об объекте). Порядок же соединения точек, опреде-ляющий топологию объекта, остается прежним. Поэтому, с точки зрения рационального выполнения линейных преоб-разований, каркасную модель объекта необходимо раздель-но задавать при помощи:

1) геометрической информации – в виде списка однородных координат точек-вершин Р ={Р_i(x_i,y_i,z_i,1), i=0,1,…,n} , где (n+1) – общее число точек, необходимых для задания фор-мы объекта и

2)топологической информации – в виде списка пар номеров точекL = {I₁, I₂ , … , I _m }, где I _j = (j ₀ , j ₁ ) - номера в

128

спискеР конечных точек линии j, (m+1) - общее число линий-векторов.

При выполнении линейного преобразования из-за изме-нения положения точек P_i в пространстве матричным пре-образованиям подвергается только первый список Р их однородных координат. Второй списокL, отражающий топологические связи вершин внутри объекта, остается неизменным.

129