§3. Основные способы задания прямых

Прямые и их части (отрезки, лучи) являются алгебраическими кривыми первого порядка.

1. Канонический способ. С помощью системы уравнений (1.4) как пересечение плоскостей.

2. С помощью направляющего вектора. Уравнение прямой, проходящей через точку (x₀,y₀,z₀), параллельно направляющему вектору v=(a, b, c) имеет вид:

3. Параметрическое задание отрезка, луча и прямой, проходящих через две точки.

Отрезок прямой, соединяющий точки Р₁ и Р₂ (как на плоскости, так и в пространстве), задается с помощью параметра u следующим образом:

L(u) =Р₁ (1-u) +Р₂ u =Р₁ +(Р₂ -Р₁) u; 0  u  1. (1.6)

При этом L(0) =Р₁ ; L(1) =Р₂ .

Единичный вектор , направленный вдоль отрезка, имеет вид:

.

В плоском случае , в пространственном - .

Единичная нормаль n ⁺ к плоскому отрезку , повернутая на 90° против часовой стрелки:

13

n ⁺ = ( - t_y , t_x ).

Нормальn ^-, повернутая на 90° по часовой стрелке:

n ^- = - n ⁺ = ( t_y , - t_x ).

Векторы, нормальные к пространственному касательному вектору t = (t_x , t_y , t_z ), лежат в соответствующих нормальных плоскостях. Если плоскость задана тремя точками , ,, то условие ее перпендикулярности сt может быть представлено в виде двух равенств:

(t , )=0; (t , )=0.

Луч, выходящий изР₁ и проходящий через Р₂ , задается аналогично отрезку с той разницей, что 0  u   . У прямой, проходящей через Р₁ ,Р₁ область изменения параметра следующая -  .  u  +  . Направляющие векторы и нормали определяются так же , как и для отрезка.

§4. Способы задания окружностей и их дуг

Окружности и их дуги являются наиболее употребительными алгебраическими кривыми второго порядка. В графических системах они обычно являются стандартными графическими примитивами. Рассмотрим основные способы задания окружностей и их дуг.

1. Параметрический. В этом случае для дуги указывается центр , радиусr, начальный и конечный углы (Рис.1.1).

Точки на дуге в зависимости от значения параметра определяют по формулам:

; . (1.7)

У полной окружности 0. Обычно данный способ представления является основным и все другие сводят к нему.

14

Рис.1.1

2. По центру C, начальной точке TН и углу  (Рис.1.2).

Рис.1.2

15

Для перехода к параметрическому заданию рассчитаем величины r, :

(1.8 а)

Если , то

. (1.8 б)

Если , то

. (1.8 в)

Конечный угол .

3. По начальной T₁(x₁,y₁), средней T₂(x₂,y₂) и конечной T₃ (x₃,y₃) точкам дуги (Рис.1.3).

Рис.1.3

16

Точки не должны лежать на одной прямой. При этом:

.

Пусть 0. Найдем . КоординатыцентраС определим из системы двух уравнений:

.

Введя вспомогательные величины ₁ ² = х₁ ²+ у₁ ²; ₂ ² = х₂ ²+ у₂ ²; ₃ ² = х₃ ²+ у₃ ²; ₁₂ = ₁ ² -₂ ² , ₃₂ = ₃ ² -₂ ²,

можно представить в виде

,.

Углы ,находим, как и в п. 2 , по формулам (1.8 б, в).

4.По начальной точке TН(xН,yН), углу наклона касательной в ней и конечной точкеTК(xК,yК)(Рис.1.4).

Рис.1.4

17

Введя в точке TН направляющий вектор t = (cos , sin ), представим систему уравнений для определения вектора в виде :

Общее решение ее имеет вид:

,

где - нормаль к ,

.

Отсюда получим:

Радиус r, углы находим так же, как и в п. 2.

§5. Основные аналитические способы задания поверхностей

1. Неявный способ задания. Применяется в тех случаях, когда ни одну из координат нельзя однозначно выразить через другие. Уравнение можно представить в виде:

f (x, y, z) = 0. (1.9)

Если область изменения координат (x, y, z) меньше области решений уравнения (1.9), то её указывают дополнительно. В случае совпадения область изменения обычно не указывают.

Пример 1. Уравнение эллипсоида с полуосями (a,b,c) и

18

центром в начале координат (Рис. 1.5):

Точками эллипсоида являются все возможные решения данного уравнения .

Рис.1.5 Рис.1.6

2. Явный способ задания. Одна из трёх координат аналитически выражается через остальные. Например, координаты точек по оси z выражаются через координаты по осям x, y:

z = f(x,y). (1.10)

Если аргументы принимают любые вещественные значения, то область их изменения можно не указывать.

Пример 2. - параболоид вращения вокруг осиz с вершиной в начале координат (0,0,0) (Рис. 1.6).

3. Параметрический способ задания. Координаты точек поверхности являются функциями двух параметров (u,v):

19

(1.11)

где  - область изменения независимых параметров u, v .

Пример 3 .

x = 3*u + 5*v + 9*(1 – u - v);

y = 2*u +7*v + 10*(1 – u - v);

z = 1*u + 6*v + 11*(1-u-v);

0  u , v  1; 0  u +v  1.

Система описывает координаты (x,y,z) точек на плоском треугольнике с вершинами в точках P₀=(3,2,1); P₁=(5,7,6); P₂=(9,10,11) (Рис. 1.7). Для того, чтобы исключить точки, лежащие за пределами треугольника P₀P₁P₂ , дополнительно указана область изменения независимых параметров u и v .

Рис.1.7

20